Четырёхмерный многогранник

4-мерный многогранник — многогранник в четырёхмерном пространстве. Многогранник является связанной замкнутой фигурой, состоящей из многогранных элементов меньшей размерности — вершин, рёбер, граней (многоугольников) и ячеек (3-мерных многогранников). Каждая грань принадлежит ровно двум ячейкам.

Двумерным аналогом 4-мерных многогранников является многоугольник, а трёхмерным аналогом является (трёхмерный) многогранник.

Топологически 4-мерные многогранники тесно связаны с однородными сотами, такими как кубические соты, замощающие 3-мерное пространство. Подобным образом трёхмерный куб связан с бесконечными двумерными квадратными сотами. Выпуклые 4-мерные многогранники могут быть разрезаны и развёрнуты в виде развёрток в 3-мерном пространстве.

Определение

4-мерный многогранник является замкнутой четырёхмерной фигурой. Он состоит из вершин (угловых точек), рёбер, граней и ячеек. Ячейка — это трёхмерный аналог грани и является (3-мерным) многогранником. Каждая (2-мерная) грань должна соединять ровно две ячейки, аналогично тому, как рёбра трёхмерного многогранника соединяют ровно две грани. Подобно другим многогранникам элементы 4-мерного многогранника не могут быть разделены на два или более множеств, которые также являются 4-многогранниками, то есть он не является составным.

Наиболее известным 4-мерным многогранником является тессеракт (гиперкуб), четырёхмерный аналог куба.

Визуализация

4-мерные многогранники невозможно представить в трёхмерном пространстве ввиду лишней размерности. Для визуализации используется ряд техник.

Ортогональная проекция

Ортоганальные проекции можно использовать для показа различных симметрий 4-мерного многогранника. Проекции можно представить в виде двумерных графов, а можно представить в виде трёхмерных тел в качестве проективных оболочек.

Перспективная проекция

Точно также как трёхмерные фигуры можно спроецировать на плоский лист, 4-мерные фигуры можно спроецировать в 3-мерное пространство или даже на плоскость. Распространённым видом проекции является диаграмма Шлегеля, использующая стереографическую проекциию точек на поверхности 3-сферы в трёхмерное пространстве, соединёнными в 3-мерном пространстве прямыми рёбрами, гранями и ячейками.

Срез

Точно так же, как разрез многогранника выявляет поверхность разреза, срез 4-мерного многогранника даёт «гиперповерхность» в трёхмерном пространстве. Последовательность таких срезов можно использовать для понимания всей фигуры. Лишнюю размерность можно приравнять ко времени для образования анимации этих сечений.

Развёртки

Развёртка 4-мерного многогранника состоит из многогранных ячеек, соединённых гранями и располагающихся в трёхмерном пространстве, точно так же, как многоугольные грани развёртки трёхмерного многогранника соединены ребрами и располагаются все в одной плоскости.

Топологические характеристики

Топология любого заданного 4-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения.

Значение эйлеровой характеристики, используемой для характеристики многогранников, не обобщается должным образом на высшие размерности и равно нулю для всех 4-мерных многогранников, какова бы ни была нижележащая топология. Это несоответствие эйлеровой характеристики для достоверного различения разных топологий в высоких размерностях ведёт к появлению более утончённых чисел Бетти.

Подобным образом понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики закручивания поверхностей тороидальных многогранников, что приводит к использованию коэффициентов кручения.

Классификация

Критерии

4-мерные многогранники можно классифицировать по свойствам, таким как «выпуклость» и «симметрия».

  • 4-мерный многогранник является выпуклым, если его границы (включая ячейки, (3-мерные) грани и рёбра) не пересекают себя (в принципе, грани многогранника могут проходить внутри оболочки) и отрезки, соединяющие любые две точки четырёхмерного многогранника, содержатся полностью внутри него.. В противном случае многогранник считается невыпуклым. Самопересекающиеся 4-мерные многогранники известны также как звёздчатые многогранники по аналогии с похожими на звёзды формами невыпуклых многогранников Кеплера — Пуансо.
  • 4-мерный многогранник является правильными, если он транзитивен относительно его флагов. Это значит, что все его ячейки являются конгруэнтными правильными многогранниками, а также все его вершинные фигуры конгруэнтны другому виду правильных многогранников.
  • Выпуклый 4-многогранник является полуправильным, если он имеет группу симметрии, при которой все вершины эквивалентны (вершинно транзитивны) и ячейки являются правильными многогранниками. Ячейки могут быть двух и более видов, при условии, что они имеют один и тот же вид граней. Существует только 3 таких фигуры, найденные Торолдом Госсетом в 1900 — полноусечённый пятиячейник, полноусечённый шестисотячейник и плосконосый двадцатичетырёхячейник.
  • 4-многогранник является однородным, если он имеет группу симметрии, при которой все вершины эквивалентны и ячейки являются однородными многогранниками. Грани (2-мерные) однородного 4-многогранника должны быть правильными многоугольниками.
  • 4-многогранник является равнорёберным многогранником, если он вершинно транзитивен и имеет рёбра одной длины. То есть разрешаются неоднородные ячейки, например, выпуклые многогранники Джонсона.
  • О правильном 4-мерном многограннике, являющемся к тому же выпуклым, говорят как о правильном выпуклом четырёхмерном многограннике.
  • 4-мерный многогранник является призматическим, если он представляет собой прямое произведение двух и более многогранников меньшей размерности. Призматический 4-мерный многогранник является однородным, если его сомножители в прямом произведении однородны. Гиперкуб является призматическим (произведение двух квадратов или куба и отрезка), но рассматривается отдельно, поскольку он имеет более высокую симметрию, чем симметрии, унаследованные от сомножителей.
  • мозаика или соты в трёхмерном пространстве — это разложение трёхмерного евклидового пространства на повторяющуюся решётку многогранных ячеек. Такие мозаики или замощения бесконечны и не ограничены «4D»-объёмом, так что являются примерами бесконечных 4-многогранников. Однородная мозаика 3-мерного пространства — это мозаика, в которой вершины конгруэнтны и связаны кристаллографической группой, а ячейки являются однородными многогранниками.

Классы

Следующий список различных категорий 4-мерных многогранников классифицирован согласно критериям, изложенным выше:

Однородный четырёхмерный многогранник (вершинно транзитивный):

  • Выпуклые однородные 4-мерные многогранники (64, плюс два бесконечных семейства)
    • 47 непризматических выпуклых однородных 4-мерных многогранника включают:
      • 6 правильных 4-мерных многогранников
    • Призматические однородные многогранники:
      • {} × {p, q} : 18 многогранных призм (включая кубические гиперпризмы, правильные гиперкубы)
      • Призмы, построенные на антипризмах (бесконечное семейство)
      • {p} × {q} : Дуопризмы (бесконечное семейство)
  • Невыпуклые однородные 4-мерные многогранники (10 + неизвестно)
    • 10 (правильных) многогранников Шлефли—Гесса
    • 57 гиперпризм, построенных на невыпуклых однородных многогранниках
    • Неизвестное число невыпуклых однородных 4-мерных многогранников — Норман Джонсон и другие соавторы нашли 1849 многогранников (выпуклых и звёздчатых), все построены на вершинных фигурах с помощью программы Stella4D

Другие выпуклые 4-мерные многогранники:

  • Многогранная пирамида
  • Многогранная призма

Бесконечные однородные 4-мерные многогранники в евклидовом 3-мерном пространстве (однородные замощения выпуклыми однородными ячейками)

  • 28 выпуклых однородных сот (однородных выпуклых замощений), включая:
    • 1 правильное замощение, кубические соты: {4,3,4}

Бесконечные однородные 4-многогранники гиперболического 3-мерного пространства (однородные замощения выпуклыми однородными ячейками)

  • 76 витхоффовых выпуклых однородных сот в гиперболическом пространстве, включая:
    • 4 правильных замощения компактного гиперболического 3-мерного пространства: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

Двойственные однородные четырёхмерные многогранники (ячейно транзитивные):

  • 41 единственно возможных двойственных однородных 4-мерных многогранника
  • 17 единственно возможных двойственных однородных многогранных призм
  • бесконечное семейство двойственных выпуклых однородных дуопризм (с неправильными тетраэдральными ячейками)
  • 27 единственно возможных двойственных однородных сот, включая:
    • Ромбические додекаэдральные соты
    • Равногранные тетраэдральные соты

Другие:

  • Структура Уэйра-Фелана периодических заполняющих пространство сот с неправильными ячейками

Абстрактные правильные 4-мерные многогранники:

  • Одиннадцатиячейник
  • Пятидесятисемиячейник

Эти категории включают только 4-мерные многогранники с высокой степенью симметрии. Возможно существование многих других 4-мерных многогранников, но они не изучались столь интенсивно, как перечисленные выше.