Скрученно удлинённая пятискатная куполоротонда

Скрученно удлинённая пятискатная куполоротонда — один из многогранников Джонсона (J47, по Залгаллеру — М6+А10+М9).

Составлена из 47 граней: 35 правильных треугольников, 5 квадратов и 7 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 1 окружена пятью квадратными, остальные 6 — пятью треугольными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной и тремя треугольными; среди треугольных граней 5 окружены тремя пятиугольными, 5 — двумя пятиугольными и треугольной, 5 — пятиугольной и двумя треугольными, 5 — двумя квадратными и треугольной, 5 — квадратной и двумя треугольными, остальные 10 — тремя треугольными.

Имеет 80 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 30 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 15 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 30 — между двумя треугольными.

У скрученно удлинённой пятискатной куполоротонды 35 вершин. В 10 вершинах сходятся две пятиугольных и две треугольных грани; в 5 вершинах — пятиугольная, две квадратных и треугольная; в 10 вершинах — пятиугольная и четыре треугольных; в остальных 10 — квадратная и четыре треугольных.

Скрученно удлинённую пятискатную куполоротонду можно получить из пятискатного купола (J5), пятискатной ротонды (J6) и правильной десятиугольной антипризмы, все рёбра у которой равны, — приложив десятиугольные грани купола и ротонды к основаниям антипризмы.

Это один из пяти хиральных многогранников Джонсона (наряду с J44, J45, J46 и J48), существующих в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом». Кроме того, среди многогранников Джонсона это единственный с группой симметрии C5 и единственный, группа симметрии которого имеет нечётный порядок (5).

Метрические характеристики

Если cкрученно удлинённая пятискатная куполоротонда имеет ребро длины a {displaystyle a} , её площадь поверхности и объём выражаются как

S = 1 4 ( 20 + 35 3 + 7 25 + 10 5 ) a 2 ≈ 32,198 7864 a 2 , {displaystyle S={frac {1}{4}}left(20+35{sqrt {3}}+7{sqrt {25+10{sqrt {5}}}} ight)a^{2}approx 32{,}1987864a^{2},} V = 5 12 ( 11 + 5 5 + 2 2 ( 650 + 290 5 − 5 − 1 ) ) a 3 ≈ 15,991 0962 a 3 . {displaystyle V={frac {5}{12}}left(11+5{sqrt {5}}+2{sqrt {2left({sqrt {650+290{sqrt {5}}}}-{sqrt {5}}-1 ight)}}; ight)a^{3}approx 15{,}9910962a^{3}.}