Неравенство Гёльдера

Неравенство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств L p {displaystyle L^{p}} .

Формулировка

Пусть ( X , F , μ ) {displaystyle (X,{mathcal {F}},mu )} — пространство с мерой, а L p ≡ L p ( X , F , μ ) {displaystyle L^{p}equiv L^{p}(X,{mathcal {F}},mu )} — пространство функций вида f : X → R {displaystyle f:X o mathbb {R} } с конечной интегрируемой p {displaystyle p} ‑ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма:

‖ f ‖ p = ( ∫ X | f ( x ) | p μ ( d x ) ) 1 / p {displaystyle |f|_{p}=left(;int limits _{X}|f(x)|^{p},mu (dx); ight)^{1/p}} ,

где p ≥ 1 {displaystyle pgeq 1} , обычно подразумевается, что это натуральное число.

Пусть f ∈ L p {displaystyle fin L^{p}} , а g ∈ L q {displaystyle gin L^{q}} , где p , q ≥ 1 , 1 / p + 1 / q = 1 {displaystyle p,qgeq 1,;1/p+1/q=1} . Тогда f ⋅ g ∈ L 1 {displaystyle fcdot gin L^{1}} , и

‖ f ⋅ g ‖ 1 ≤ ‖ f ‖ p ⋅ ‖ g ‖ q {displaystyle |fcdot g|_{1}leq |f|_{p}cdot |g|_{q}} .

Доказательство

Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть X {displaystyle X} — пространство с мерой μ {displaystyle mu } , E ⊂ X {displaystyle Esubset X} , E {displaystyle E} измеримо. Тогда:
f ∈ L p , g ∈ L q , p > 1 , 1 p + 1 q = 1 ⇒ ∫ E | f g | d μ < + ∞ , ∫ E | f g | d μ ≤ ( ∫ E | f | p d μ ) 1 / p ( ∫ E | g | q d μ ) 1 / q {displaystyle fin L^{p},gin L^{q},p>1,{dfrac {1}{p}}+{dfrac {1}{q}}=1Rightarrow int limits _{E}|fg|,dmu <+infty ,;int limits _{E}left|fg ight|,dmu leq left(int limits _{E}|f|^{p},dmu ight)^{1/p}left(int limits _{E}|g|^{q},dmu ight)^{1/q}}
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
a , b ≥ 0 , p > 1 , 1 p + 1 q = 1 ⇒ a 1 / p b 1 / q ≤ a p + b q {displaystyle a,bgeq 0,p>1,{dfrac {1}{p}}+{dfrac {1}{q}}=1Rightarrow a^{1/p}b^{1/q}leq {dfrac {a}{p}}+{dfrac {b}{q}}}

Положим
a = | f ( x ) | p ∫ E | f | p d μ b = | g ( x ) | q ∫ E | g | q d μ I 1 = ∫ E | f | p d μ > 0 I 2 = ∫ E | g | q d μ > 0 {displaystyle a={dfrac {|f(x)|^{p}}{int limits _{E}|f|^{p}dmu }}quad b={dfrac {|g(x)|^{q}}{int limits _{E}|g|^{q}dmu }}quad I_{1}=int limits _{E}|f|^{p}dmu >0quad I_{2}=int limits _{E}|g|^{q}dmu >0}

Применяя неравенство, получаем:
| f ( x ) g ( x ) | ≤ I 1 1 / p I 2 1 / q ( | f ( x ) | p p ⋅ I 1 + | g ( x ) | q q ⋅ I 2 ) {displaystyle |f(x)g(x)|leq I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}left({dfrac {|f(x)|^{p}}{pcdot I_{1}}}+{dfrac {|g(x)|^{q}}{qcdot I_{2}}} ight)}

Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству E {displaystyle E} (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по E {displaystyle E} , получаем:
∫ E | f g | d μ ≤ I 1 1 / p I 2 1 / q ( 1 p + 1 q ) = I 1 1 / p I 2 1 / q {displaystyle int limits _{E}|fg|,dmu leq I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}left({dfrac {1}{p}}+{dfrac {1}{q}} ight)=I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}}
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если I 1 {displaystyle I_{1}} или I 2 {displaystyle I_{2}} равен 0, то это значит, что f {displaystyle f} или g {displaystyle g} эквивалентны нулю на E {displaystyle E} , и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.

Частные случаи

Неравенство Коши — Буняковского

Положив p = q = 2 {displaystyle p=q=2} , получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства L 2 {displaystyle L^{2}} .

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство E = R n {displaystyle E=mathbb {R} ^{n}} или C n {displaystyle mathbb {C} ^{n}} . L p {displaystyle L^{p}} -норма в этом пространстве имеет вид:

‖ x ‖ p = ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p , x = ( x 1 , … , x n ) ⊤ {displaystyle |x|_{p}=left(sum limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p} ight)^{1/p},;x=(x_{1},ldots ,x_{n})^{ op }} ,

и тогда

∑ i = 1 n | x i ⋅ y i | ≤ ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | y i | q ) 1 / q , ∀ x , y ∈ E {displaystyle sum limits _{i=1}^{n}|x_{i}cdot y_{i}|leq left(sum limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p} ight)^{1/p}cdot left(sum limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{q} ight)^{1/q},;forall x,yin E} .

Пространство lp

Пусть X = N , F = 2 N , m {displaystyle X=mathbb {N} ,,{mathcal {F}}=2^{mathbb {N} },,m} — счётная мера на N {displaystyle mathbb {N} } . Тогда множество всех последовательностей { x n } n = 1 ∞ {displaystyle {x_{n}}_{n=1}^{infty }} , таких что:

‖ x ‖ p = ∑ n = 1 ∞ | x n | p < ∞ {displaystyle |x|_{p}=sum _{n=1}^{infty }|x_{n}|^{p}<infty } ,

называется l p {displaystyle l^{p}} . Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

∑ n = 1 ∞ | x n ⋅ y n | ≤ ( ∑ n = 1 ∞ | x n | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ n = 1 ∞ | y n | q ) 1 / q , ∀ x ∈ l p , y ∈ l q {displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }|x_{n}cdot y_{n}|leq left(sum limits _{n=1}^{infty }|x_{n}|^{p} ight)^{1/p}cdot left(sum limits _{n=1}^{infty }|y_{n}|^{q} ight)^{1/q},;forall xin l^{p},yin l^{q}} .

Вероятностное пространство

Пусть ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} — вероятностное пространство. Тогда L p ( Ω , F , P ) {displaystyle L^{p}(Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} состоит из случайных величин с конечным p {displaystyle p} -м моментом: E [ | X | p ] < ∞ {displaystyle mathbb {E} left[|X|^{p} ight]<infty } , где символ E {displaystyle mathbb {E} } обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

E | X Y | ≤ ( E | X | p ) 1 / p ⋅ ( E | Y | q ) 1 / q , ∀ X ∈ L p , Y ∈ L q {displaystyle mathbb {E} |XY|leq left(mathbb {E} |X|^{p} ight)^{1/p}cdot left(mathbb {E} |Y|^{q} ight)^{1/q},;forall Xin L^{p},Yin L^{q}} .