Геометрический остов

Геометрический остов (англ. geometric spanner) или t-остовной граф, или t-остов первоначально был введён как взвешенный граф на множестве точек в качестве вершин, для которого существует t-путь между любой парой вершин для фиксированного параметра t. t-путь определяется как путь в графе с весом, не превосходящим в t раз пространственное расстояние между конечными точками. Параметр t называется коэффициентом растяжения остова.

В вычислительной геометрии концепцию первым обсуждал Л.П. Чу в 1986, хотя термин «spanner» (остов) в статье упомянут не был.

Понятие остовных деревьев известно в теории графов — t-остова, это остовные подграфы графов с похожими свойствами растяжения, где расстояние между вершинами графа определяется в терминах теории графов. Поэтому геометрические остовы являются остовными деревьями полных графов, вложенных в плоскость, в которых веса рёбер равны расстояниям между вершинами в соответствующей метрике.

Остовы могут быть использованы в вычислительной геометрии для решения некоторых задач на близость. Они находят также приложения в других областях, таких как планирование движения, в коммуникационных сетях — надёжность сети, оптимизация роуминга в мобильных сетях и т.д..

Различные остовы и меры качества

Существуют различные меры, используемые для анализа качества остовов. Наиболее распространёнными мерами являются число рёбер, общий вес и максимальная степень вершин. Асимптотически оптимальные значения для этих мер — O ( n ) {displaystyle O(n)} рёбер, O ( M S T ) {displaystyle O(MST)} для общего веса и O ( 1 ) {displaystyle O(1)} для максимальной степени (здесь MST означает вес минимального остовного дерева).

Известно, что поиск остова на евклидовой плоскости с минимальным растяжением на n точках с максимум m рёбрами является NP-трудной задачей.

Есть много алгоритмов, которые хорошо ведут себя при различных мерах качества. Быстрые алгоритмы включают остовную вполне разделенную декомпозицию пар (англ. Well-separated pair decomposition, WSPD) и тета-графы, которые строят остовы с линейным числом рёбер за время O ( n log ⁡ n ) {displaystyle O(nlog n)} . Если требуются лучшие веса и степени вершин, жадный остов вычисляется почти за квадратичное время.

Тета-граф

Тета-граф или Θ {displaystyle Theta } -граф принадлежит семейству основанных на конусе остовов. Основной метод построения заключается в разделении пространства вокруг каждой вершины на множество конусов (плоский конус — это два луча, то есть угол), которые разделяют оставшиеся вершины графа. Подобно графам Яо, Θ {displaystyle Theta } -граф содержит максимум по одному ребру для конуса. Подход отличается в способе выбора рёбер. В то время как графы Яо выбирают ближайшую вершину согласно метрическому расстоянию в графе, Θ {displaystyle Theta } -граф определяет фиксированный луч, содержащийся в каждом конусе (обычно биссектриса конуса) и выбираются ближайшие соседи (то есть имеющие наименьшее расстояние до луча).

Жадный остов

Жадный остов или жадный граф определяется как граф, получающийся путём многократного добавления ребра между точками, не имеющими t-пути. Алгоритмы вычисления этого графа упоминаются как алгоритмы жадного остова. Из построения тривиально следует, что жадные графы являются t-остовами.

Жадный остов открыли в 1989 независимо Альтхёфер и Берн (не опубликовано).

Жадный остов достигает асимптотически оптимальное число рёбер, общий вес и максимальную степень вершины и даёт лучшие величины меры на практике. Он может быть построен за время O ( n 2 log ⁡ n ) {displaystyle O(n^{2}log n)} с использованием пространства O ( n 2 ) {displaystyle O(n^{2})} .

Триангуляция Делоне

Главным результатом Чу было то, что для множества точек на плоскости существует триангуляция этих наборов точек, такая, что для любых двух точек существует путь вдоль рёбер триангуляции с длиной, не превосходящей 1 0 {displaystyle scriptstyle {sqrt {1}}0} евклидова расстояния между двумя точками. Результат был использован в планировании движения для поиска приемлемого приближения кратчайшего пути среди препятствий.

Лучшая верхняя известная граница для триангуляции Делоне равна ( 4 3 / 9 ) π ≈ 2,418 {displaystyle scriptstyle {(4{sqrt {3}}/9)pi }approx 2{,}418} -остова для его вершин. Нижняя граница была увеличена с π / 2 {displaystyle scriptstyle {{pi }/2}} до 1,5846.

Вполне разделенная декомпозиция пар

Остов может быть построен из вполне разделенной декомпозиции пар следующим образом. Строим граф с набором точек S {displaystyle S} в качестве вершин и для каждой пары { A , B } {displaystyle {A,B}} в WSPD добавляем ребро из произвольной точки a ∈ A {displaystyle ain A} в произвольную точку b ∈ B {displaystyle bin B} . Заметим, что получающийся граф имеет линейное число рёбер, поскольку WSPD имеет линейное число пар.

Согласно доказательству можно иметь произвольное значение для t {displaystyle t} путём выражения s {displaystyle s} из t = ( s + 4 ) / ( s − 4 ) {displaystyle t=(s+4)/(s-4)} , что даёт s = 4 ( t + 1 ) / ( t − 1 ) {displaystyle s=4(t+1)/(t-1)} .