Теорема Лагранжа в теории групп гласит:
Следствия
Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы H {displaystyle H} в G {displaystyle G} одинаково и называется индексом подгруппы H {displaystyle H} в G {displaystyle G} (обозначается [ G : H ] {displaystyle [G:H]} ). Порядок любой подгруппы конечной группы G {displaystyle G} делит порядок G {displaystyle G} . Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы G {displaystyle G} делит порядок G {displaystyle G} . Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел. Группа порядка p {displaystyle p} , где p {displaystyle p} — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок p {displaystyle p} , и значит, каждый из них порождает группу.) История
Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это было задолго до определения группы, Лагранж исследовал группу подстановок. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.
