Хребтовая функция

11.03.2021

Хребтовая функция — функция комплексного переменного, модуль которой в каждой точке некоторого интервала мнимой оси больше или равен модулю функции во всех точках прямой, параллельной действительной оси. Понятие хребтовой функции и изучение её свойств впервые провёл Дюге.

Определение

Функция комплексного переменного z {displaystyle z} , определённая и аналитическая в области D {displaystyle D} , содержащей интервал ( i a , i b ) {displaystyle left(ia,ib ight)} мнимой оси a < b {displaystyle a<b} называется хребтовой в D {displaystyle D} вдоль интервала ( i a , i b ) {displaystyle left(ia,ib ight)} мнимой оси, если для всех z = x + i y ∈ D , y ∈ ( a , b ) {displaystyle z=x+iyin D,yin left(a,b ight)} верно нерваенство | f ( x + i y ) | ≤ | f ( i y ) | {displaystyle left|f(x+iy) ight|leq left|f(iy) ight|} .

Свойства

Если функция f ≢ 0 {displaystyle f ot equiv 0} , хребтовая в D {displaystyle D} , то:

  • функция arg ⁡ f ( i y ) {displaystyle arg f(iy)} постоянна для всех y ∈ ( a , b ) {displaystyle yin left(a,b ight)} .
  • функция ln ⁡ | f ( i y ) | {displaystyle ln left|f(iy) ight|} выпукла для всех y ∈ ( a , b ) {displaystyle yin left(a,b ight)} (Теорема Дюге).