Аффинная классификация кубик

Исаак Ньютон получил две классификации кубик . Основываясь на второй классификации была получена аффинная классификация кубик. Эта классификация описана в следующей теореме.

Теорема. Существуют 59 семейств аффинных классов эквивалентности неприводимых кубик: 15 классов модальности 0; 23 семейства (классов) модальности 1; 16 семейств модальности 2; 5 семейств модальности 3; эти семейства представлены в следующем списке канонических уравнений.

Порядок перечисления семейств аффинных классов принадлежит Ньютону, для удобства он сохранён в этом списке. В каждом пункте списка указана размерность множества кубик, принадлежащих этому семейству аффинных классов. Например, каждая кубика аффинного класса с номером 1.1 аффинно эквивалентна кубике y 2 = x 3 {displaystyle y^{2}=x^{3}} , множество кубик этого класса в пространстве R P 9 {displaystyle mathbb {R} P^{9}} всех кубик имеет размерность dim = 5 {displaystyle dim =5} , а каждая кубика семейства аффинных классов с номером 1.7 аффинно эквивалентна одной из кубик однопараметрического семейства ( x − 1 ) y 2 − a x 2 y + x 3 = 0 {displaystyle (x-1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0} , где 0 < a < 2 {displaystyle 0<a<2} , множество кубик этого семейства в пространстве R P 9 {displaystyle mathbb {R} P^{9}} всех кубик имеет размерность dim = 7 {displaystyle dim =7} .

Классы, полученные из кубики с точкой возврата, см. рис. 1.

1.1. y 2 = x 3 {displaystyle y^{2}=x^{3}} ; dim = 5 {displaystyle dim =5} .

1.2. y = x 3 {displaystyle y=x^{3}} ; dim = 5 {displaystyle dim =5} .

1.3. x 2 y = 1 {displaystyle x^{2}y=1} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

1.4. x 2 y = 1 − x {displaystyle x^{2}y=1-x} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

1.5. ( x − 1 ) y 2 + x 3 = 0 {displaystyle (x-1)y^{2}+x^{3}=0} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

1.6. ( x + 1 ) y 2 = x 3 {displaystyle (x+1)y^{2}=x^{3}} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

1.7. ( x − 1 ) y 2 − a x 2 y + x 3 = 0 {displaystyle (x-1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0} , где 0 < a < 2 {displaystyle 0<a<2} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

1.8. y 2 − x 2 y − x 3 = 0 {displaystyle y^{2}-x^{2}y-x^{3}=0} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

1.9. ( x + 1 ) y 2 − a x 2 y + x 3 = 0 {displaystyle (x+1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0} , где a > 0 {displaystyle a>0} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

Классы, полученные из кубики с петлёй, см. рис. 2.

2.1. y 2 = x 2 ( x + 1 ) {displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

2.2. ( 1 − x a ) y 2 = x 2 ( x + 1 ) {displaystyle left(1-{frac {x}{a}} ight)y^{2}=x^{2}left(x+1 ight)} , где a > 0 {displaystyle a>0} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

2.3. ( 1 − x ) y 2 = x 2 {displaystyle left(1-x ight)y^{2}=x^{2}} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

2.4. ( 1 − x a ) y 2 = x 2 ( 1 − x ) {displaystyle left(1-{frac {x}{a}} ight)y^{2}=x^{2}left(1-x ight)} , где 0 < a < 1 {displaystyle 0<a<1} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

2.5. ( x + 1 ) ( x − 1 ) y + 1 = 0 {displaystyle (x+1)(x-1)y+1=0} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

2.6. ( x a + 1 ) y 2 = x 2 ( x + 1 ) {displaystyle left({frac {x}{a}}+1 ight)y^{2}=x^{2}left(x+1 ight)} , где a > 1 {displaystyle a>1} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

2.7. ( x − 1 ) y 2 = b x ( x + a ) ( y − x ) {displaystyle left(x-1 ight)y^{2}=bx(x+a)(y-x)} , где a > 0 {displaystyle a>0} и 0 ≤ b < 4 {displaystyle 0leq b<4} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

2.8. ( x − 1 ) y 2 = a x ( y − x ) {displaystyle (x-1)y^{2}=ax(y-x)} , где a > 0 {displaystyle a>0} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

2.9. x y = ( x − 1 ) 3 {displaystyle xy=(x-1)^{3}} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

2.10. ( x − 1 ) y 2 = a x ( y − x ) {displaystyle (x-1)y^{2}=ax(y-x)} , где a < − 4 {displaystyle a<-4} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

2.11. ( 1 − x ) y 2 = b x ( x − a ) ( y − x ) {displaystyle left(1-x ight)y^{2}=bxleft(x-a ight)left(y-x ight)} , где a > 1 {displaystyle a>1} и b > 0 {displaystyle b>0} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

2.12. ( x + 1 ) ( x − a ) y + x = 0 {displaystyle (x+1)(x-a)y+x=0} , где a > 0 {displaystyle a>0} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

2.13. ( x + 1 ) ( x − a ) y + x 2 = 0 {displaystyle (x+1)(x-a)y+x^{2}=0} , где a > 0 {displaystyle a>0} и a ≠ 1 {displaystyle a eq 1} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

2.14. ( x a + 1 ) y 2 − b x 2 y = x 2 ( x + 1 ) {displaystyle left({frac {x}{a}}+1 ight)y^{2}-bx^{2}y=x^{2}left(x+1 ight)} , где a > 0 {displaystyle a>0} и b > 0 {displaystyle b>0} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

Классы, полученные из кубики с изолированной точкой, см. рис. 3, где кубики семейств с номерами 3.1, 3.2, 3.4 - 3.8, 3.10 - 3.12 имеют изолированную точку в начале координат O = ( 0 , 0 ) {displaystyle O=(0,0)} , а кубики семейств с номерами 3.3 и 3.9 имеют изолированную тоску в точке пересечения прямой x = 0 {displaystyle x=0} и бесконечно удалённой прямой z = 0 {displaystyle z=0} , т.е. в точке с проективными координатами ( 0 : 1 : 0 ) {displaystyle (0:1:0)} .

3.1. y 2 = x 2 ( x − 1 ) {displaystyle y^{2}=x^{2}(x-1)} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

3.2. ( 1 − x a ) y 2 = x 2 ( x − 1 ) {displaystyle left(1-{frac {x}{a}} ight)y^{2}=x^{2}left(x-1 ight)} , где a > 1 {displaystyle a>1} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

3.3. ( x 2 + 1 ) y = x 2 {displaystyle (x^{2}+1)y=x^{2}} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

3.4. ( x a + 1 ) y 2 = − x 2 ( x + 1 ) {displaystyle left({frac {x}{a}}+1 ight)y^{2}=-x^{2}left(x+1 ight)} , где 0 < a < 1 {displaystyle 0<a<1} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

3.5. ( x + 1 ) y 2 = − x 2 {displaystyle left(x+1 ight)y^{2}=-x^{2}} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

3.6. ( x a + 1 ) y 2 = x 2 ( x − 1 ) {displaystyle left({frac {x}{a}}+1 ight)y^{2}=x^{2}left(x-1 ight)} , где 0 < a < 1 3 {displaystyle 0<a<{frac {1}{3}}} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

3.7. ( 3 x + 1 ) y 2 = x 2 ( x − 1 ) {displaystyle left(3x+1 ight)y^{2}=x^{2}left(x-1 ight)} ; dim = 6 {displaystyle dim =6} .

3.8. ( x a + 1 ) y 2 = x 2 ( x − 1 ) {displaystyle left({frac {x}{a}}+1 ight)y^{2}=x^{2}left(x-1 ight)} , где a > 1 3 {displaystyle a>{frac {1}{3}}} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

3.9. y ( x 2 + a x + 1 ) = x {displaystyle y(x^{2}+ax+1)=x} , где 0 ≤ a < 2 {displaystyle 0leq a<2} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

3.10. ( 1 − x ) y 2 + b x ( x − a ) ( y − x ) = 0 {displaystyle (1-x)y^{2}+bx(x-a)(y-x)=0} , где 0 < a < 1 {displaystyle 0<a<1} и 0 < b < 4 {displaystyle 0<b<4} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

3.11. ( x + 1 ) y 2 + a x ( y + x ) = 0 {displaystyle (x+1)y^{2}+ax(y+x)=0} , где 0 < a < 4 {displaystyle 0<a<4} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

3.12. ( x + 1 ) y 2 − b x ( x − a ) ( y + x ) = 0 {displaystyle left(x+1 ight)y^{2}-bx(x-a)(y+x)=0} , где a > 0 {displaystyle a>0} , b > 0 {displaystyle b>0} и a < ( a + 1 ) ( b + 2 − b 2 + 4 b ) 2 ( b + 4 ) − ( a + 1 ) ( b + 2 + b 2 + 4 b ) {displaystyle a<{frac {(a+1)(b+2-{sqrt {b^{2}+4b}})}{2(b+4)-(a+1)left(b+2+{sqrt {b^{2}+4b}} ight)}}} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

Классы, полученные из простой кубики, см. рис. 4.

4.1. y 2 = x [ ( x − a ) 2 + 1 ] {displaystyle y^{2}=xleft[left(x-a ight)^{2}+1 ight]} , где a ∈ R {displaystyle ain mathbb {R} } ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

4.2. x y 2 = − ( x + a ) [ ( x − b ) 2 + 1 ] {displaystyle xy^{2}=-(x+a)left[left(x-b ight)^{2}+1 ight]} , где a > 0 {displaystyle a>0} и b ∈ R {displaystyle bin mathbb {R} } ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

4.3. x y 2 = − [ ( x − a ) 2 + 1 ] {displaystyle xy^{2}=-left[left(x-a ight)^{2}+1 ight]} , где a ∈ R {displaystyle ain mathbb {R} } ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

4.4. x y 2 = − ( x − a ) [ ( x − b ) 2 + 1 ] {displaystyle xy^{2}=-(x-a)left[left(x-b ight)^{2}+1 ight]} , где a > 0 {displaystyle a>0} и b < a 2 − 4 4 a {displaystyle b<{frac {a^{2}-4}{4a}}} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

4.5. x y 2 = − ( x − a ) [ ( x − a 2 − 4 4 a ) 2 + 1 ] {displaystyle xy^{2}=-(x-a)left[left(x-{frac {a^{2}-4}{4a}} ight)^{2}+1 ight]} , где a > 0 {displaystyle a>0} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

4.6. x y 2 = − ( x − a ) [ ( x − b ) 2 + 1 ] {displaystyle xy^{2}=-(x-a)left[left(x-b ight)^{2}+1 ight]} , где a > 0 {displaystyle a>0} и b > a 2 − 4 4 a {displaystyle b>{frac {a^{2}-4}{4a}}} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

4.7. x y 2 = c [ ( x − a ) 2 + 1 ] ( y + x − b ) {displaystyle xy^{2}=c[(x-a)^{2}+1](y+x-b)} , где a ∈ R {displaystyle ain mathbb {R} } , b ≥ 0 {displaystyle bgeq 0} и − 4 < c < 0 {displaystyle -4<c<0} ; dim = 9 {displaystyle dim =9} .

4.8. x y 2 = − 4 [ ( x − a ) 2 + 1 ] ( y + x − b ) {displaystyle xy^{2}=-4[(x-a)^{2}+1](y+x-b)} , где a ∈ R {displaystyle ain mathbb {R} } , b ≥ 0 {displaystyle bgeq 0} и b ≠ 2 a {displaystyle b eq 2a} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

4.9. x y 2 = c [ ( x − a ) 2 + 1 ] ( y + x − b ) {displaystyle xy^{2}=c[(x-a)^{2}+1](y+x-b)} , где a ∈ R {displaystyle ain mathbb {R} } , b ≥ 0 {displaystyle bgeq 0} , c ( c + 4 ) ( a 2 + 1 ) < a c − 2 b {displaystyle {sqrt {c(c+4)(a^{2}+1)}}<ac-2b} , 0 < c < 2 [ a 2 − a b + 1 + ( a 2 − a b + 1 ) 2 + b 2 ] {displaystyle 0<c<2left[a^{2}-ab+1+{sqrt {(a^{2}-ab+1)^{2}+b^{2}}} ight]} , a c + 2 b + ( a c + 2 b ) 2 − c ( c + 4 ) ( a 2 + 1 ) c + 4 < ( c + 4 ) ( a 2 + 1 ) ( β − b ) ( 2 a − b ) 2 − ( c + 4 ) ( a 2 + 1 ) ( α + 1 ) {displaystyle {frac {ac+2b+{sqrt {(ac+2b)^{2}-c(c+4)(a^{2}+1)}}}{c+4}}<{frac {(c+4)(a^{2}+1)(eta -b)}{(2a-b)^{2}-(c+4)(a^{2}+1)(alpha +1)}}} , c ( c + 4 ) ( a 2 + 1 ) < a c + 2 b {displaystyle {sqrt {c(c+4)(a^{2}+1)}}<ac+2b} , α = c − c 2 + 4 c 2 {displaystyle alpha ={frac {c-{sqrt {c^{2}+4c}}}{2}}} и β = − c [ a − a ( c + 2 ) + b c 2 + 4 c ] {displaystyle eta =-cleft[a-{frac {a(c+2)+b}{sqrt {c^{2}+4c}}} ight]} ; dim = 9 {displaystyle dim =9} .

Классы, полученные из кубики с овалом, см. рис. 5.

5.1. y 2 = x ( x + 1 ) ( x + a ) {displaystyle y^{2}=x(x+1)(x+a)} , где a > 1 {displaystyle a>1} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

5.2. x y 2 = − ( x + 1 ) ( x + a ) ( x + b ) {displaystyle xy^{2}=-(x+1)(x+a)(x+b)} , где 1 < a < b {displaystyle 1<a<b} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

5.3. x y 2 = − ( x + 1 ) ( x + a ) {displaystyle xy^{2}=-(x+1)(x+a)} , где a > 1 {displaystyle a>1} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

5.4. x y 2 = − ( x + a ) ( x + 1 ) ( x − b ) {displaystyle xy^{2}=-(x+a)(x+1)(x-b)} , где a > 1 {displaystyle a>1} и b > 0 {displaystyle b>0} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

5.5. x y 2 = ( x + 1 ) ( x − a ) {displaystyle xy^{2}=(x+1)(x-a)} , где a > 0 {displaystyle a>0} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

5.6. x y 2 = − ( x + 1 ) ( x − a ) ( x − b ) {displaystyle xy^{2}=-(x+1)(x-a)(x-b)} , где 0 < a < b {displaystyle 0<a<b} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

5.7. x y 2 = − ( x − 1 ) ( x − a ) {displaystyle xy^{2}=-(x-1)(x-a)} , где a > 1 {displaystyle a>1} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

5.8. x y 2 = ( x − a ) ( x − 1 ) ( x − b ) {displaystyle xy^{2}=(x-a)(x-1)(x-b)} , где 0 < a < 1 < b {displaystyle 0<a<1<b} и b > ( a + 1 ) 2 {displaystyle b>({sqrt {a}}+1)^{2}} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

5.9. x y 2 = ( x − a ) ( x − 1 ) [ x − ( a + 1 ) 2 ] {displaystyle xy^{2}=(x-a)(x-1)[x-({sqrt {a}}+1)^{2}]} , где 0 < a < 1 {displaystyle 0<a<1} ; dim = 7 {displaystyle dim =7} .

5.10. x y 2 = ( x − a ) ( x − 1 ) ( x − b ) {displaystyle xy^{2}=(x-a)(x-1)(x-b)} , где 0 < a < 1 < b {displaystyle 0<a<1<b} и b < ( a + 1 ) 2 {displaystyle b<({sqrt {a}}+1)^{2}} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

5.11. x y 2 = c ( x + 1 ) ( x + a ) ( x + y − b ) {displaystyle xy^{2}=c(x+1)(x+a)(x+y-b)} , где a > 1 {displaystyle a>1} , b > − 1 {displaystyle b>-1} и − 4 < c < 0 {displaystyle -4<c<0} ; dim = 9 {displaystyle dim =9} .

5.12. x y 2 = b ( x + 1 ) ( x + y − a ) {displaystyle xy^{2}=b(x+1)(x+y-a)} , где a > − 1 {displaystyle a>-1} и b ∈ R {displaystyle bin mathbb {R} } ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

5.13. x y 2 = c ( x + 1 ) ( x − a ) ( x + y − b ) {displaystyle xy^{2}=c(x+1)(x-a)(x+y-b)} , где a > 0 {displaystyle a>0} , − 1 < b < a {displaystyle -1<b<a} и c > 0 {displaystyle c>0} ; dim = 9 {displaystyle dim =9} .

5.14. x y 2 = − 4 ( x + 1 ) ( x + a ) ( x + y − b ) {displaystyle xy^{2}=-4(x+1)(x+a)(x+y-b)} , где a > 1 {displaystyle a>1} и b > − 1 {displaystyle b>-1} ; dim = 8 {displaystyle dim =8} .

5.15. x y 2 = c ( x − a ) ( x − 1 ) ( x + y − b ) {displaystyle xy^{2}=c(x-a)(x-1)(x+y-b)} , где 0 < a < 1 < b {displaystyle 0<a<1<b} , c > 0 {displaystyle c>0} , a c ( β − b ) β 2 − c [ a ( α + 1 ) − ( a + 1 ) ( β − b ) ] > c ( a + 1 ) + 4 b + D 2 ( c + 4 ) {displaystyle {frac {acleft(eta -b ight)}{eta ^{2}-cleft[aleft(alpha +1 ight)-(a+1)left(eta -b ight) ight]}}>{frac {c(a+1)+4b+{sqrt {mathcal {D}}}}{2(c+4)}}} , D = [ c ( a − 1 ) + 4 b ] 2 + 16 c ( b − a ) {displaystyle {mathcal {D}}=[c(a-1)+4b]^{2}+16c(b-a)} , α = c − c 2 + 4 c 2 {displaystyle alpha ={frac {c-{sqrt {c^{2}+4c}}}{2}}} , β = c [ b + ( a + 1 ) ( α + 1 ) ] c − 2 α {displaystyle eta ={frac {cleft[b+(a+1)left(alpha +1 ight) ight]}{c-2alpha }}} ; dim = 9 {displaystyle dim =9} .