Гипотеза Уиллмора

12.03.2021

Гипотеза Уиллмора — это нижняя граница энергии Уиллмора тора. Гипотеза носит имя английского математика Томаса Уиллмора, который сформулировал её в 1965 году. Доказательство гипотезы анонсировано Маркишем и Невишом в 2012 году и опубликовано в 2014 году.

Энергия Уиллмора

Пусть v : M → R 3 {displaystyle v:M o mathbb {R} ^{3}} будет гладким погружением компактной ориентированной поверхности. Пусть дано многообразие M и риманова метрика, порождённая погружением v {displaystyle v} . Пусть H : M → R {displaystyle H:M o mathbb {R} } будет средней кривизной (среднее арифметическое главных кривизн κ1 и κ2 в каждой точке). В такой нотации энергия Уиллмора W(M) многообразия M задаётся выражением

W ( M ) = ∫ M H 2 d A . {displaystyle W(M)=int _{M}H^{2},dA.}

Нетрудно доказать, что энергия Уиллмора удовлетворяет неравенству W ( M ) ⩾ 4 π {displaystyle W(M)geqslant 4pi } с равенством тогда и только тогда, когда многообразие M является вложенной сферой.

Утверждение

Вычисление величины W(M) для нескольких примеров даёт повод предположить, что должна быть граница, лучшая чем W ( M ) ⩾ 4 π {displaystyle W(M)geqslant 4pi } для поверхностей с родом g ( M ) > 0 {displaystyle g(M)>0} . В частности, вычисление W(M) для тора с различными симметриями привели Уиллмора в 1965 году к следующей гипотезе, которая теперь носит его имя

Для любого тора M, гладко погружённого в R3, выполняется неравенство W ( M ) ⩾ 2 π 2 {displaystyle W(M)geqslant 2pi ^{2}} .

В 1982 году Питер Ли и Яу Шинтун доказали гипотезу в невложенном случае, показав, что если f : Σ → S 3 {displaystyle f:Sigma o S^{3}} является погружением компактной поверхности, которая не является вложением, то W(M) не менее 8 π {displaystyle 8pi } .

В 2012 году Фернанду Кода Маркиш и Андре Невиш доказали гипотезу во вложенном случае с помощью минимаксной теории Альмгрена — Питтса минимальных поверхностей. Мартин Шмидт заявил о доказательстве в 2002 году, но работу не приняли для публикации ни в один рецензируемый математический журнал (хотя работа не содержала доказательство гипотезы Уиллмора, Шмидт доказал некоторые другие важные гипотезы в работе). До доказательства Маркиша и Невиша гипотеза Уиллмора была уже доказана для многих специальных случаев, таких как трубчатый тор (самим Уилмором) и торы вращения (Лангером и Сингером).