Уравнение переноса

16.05.2021

Уравнение переноса — дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение скалярной величины в пространстве и времени.

Уравнение переноса имеет вид:

∂ ψ ∂ t + ∇ ⋅ F = 0 , {displaystyle {frac {partial psi }{partial t}}+ abla cdot mathbf {F} =0,}

где ∇ ⋅ {displaystyle abla cdot } — оператор дивергенции, а F {displaystyle mathbf {F} } — вектор плотности потока скалярной величины ψ {displaystyle psi } . Он равен произведению величины ψ {displaystyle psi } на вектор скорости потока: F = ψ u {displaystyle {mathbf {F} }=psi {mathbf {u} }} . Часто предполагается, что поле скоростей соленоидально, то есть ∇ ⋅ u = 0 {displaystyle abla cdot {mathbf {u} }=0} . В этом случае уравнение принимает вид:

∂ ψ ∂ t + u ⋅ ∇ ψ = 0. {displaystyle {frac {partial psi }{partial t}}+{mathbf {u} }cdot abla psi =0.}

В одномерной постановке имеет вид:

∂ ψ ∂ t + u ∂ ψ ∂ x = 0. {displaystyle {frac {partial psi }{partial t}}+{u}{frac {partial psi }{partial x}}=0.}

И при постоянном значении u {displaystyle u} имеет аналитическое решение:

ψ ( x , t ) = ψ 0 ( x − u t ) , {displaystyle psi (x,t)=psi _{0}(x-ut),}

где ψ 0 {displaystyle psi _{0}} — произвольная гладкая (дифференцируемая) функция.