Комплекс Кошуля

06.09.2021

Комплекс Кошуля был впервые введён в математике Жаном-Луи Кошулем, чтобы определить теорию когомологий алгебр Ли. Впоследствии он оказался полезной общей конструкцией гомологической алгебры. Его гомологии могут быть использованы для того, чтобы определить, является ли последовательность элементов кольца M-регулярной, и, как следствие, он может быть использован ля того, чтобы доказать базовые свойства глубины модуля или идеала.

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо и E — свободный R-модуль конечного ранга r. Мы обозначаем через ∧ i E {displaystyle wedge ^{i}E} i-ю внешнюю степень E. Тогда для R-линейного отображения s : E → R {displaystyle s:E o R} комплекс Кошуля, ассоциированный с s — это цепной комплекс R-модулей

K ∙ ( s ) : 0 → ∧ r E → d r ∧ r − 1 E → ⋯ → ∧ 1 E → d 1 R → 0 , {displaystyle K_{ullet }(s):0 o wedge ^{r}E{overset {d_{r}}{ o }}wedge ^{r-1}E o cdots o wedge ^{1}E{overset {d_{1}}{ o }}R o 0,}

в котором дифференциал dk задаётся по правилу: для любых ei из E

d k ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e k ) = ∑ i = 1 k ( − 1 ) i + 1 s ( e i ) e 1 ∧ ⋯ ∧ e i ^ ∧ ⋯ ∧ e k {displaystyle d_{k}(e_{1}wedge dots wedge e_{k})=sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})e_{1}wedge cdots wedge {widehat {e_{i}}}wedge cdots wedge e_{k}}

Надстрочный знак ⋅ ^ {displaystyle {widehat {cdot }}} означает, что сомножитель пропускается.

Заметим, что ∧ 1 E = E {displaystyle wedge ^{1}E=E} и d 1 = s {displaystyle d_{1}=s} . Заметим также, что ∧ r E ≃ R {displaystyle wedge ^{r}Esimeq R} ; этот изоморфизм не канонический (например, выбор формы объёма в дифференциальной геометрии — это пример такого изоморфизма).

Если E = Rr (то есть выбран базис), то задание R-линейного отображения s: RrR эквивалентно заданию конечной последовательности s1, …, sr элементов R (вектор-строки) и в этом случае обозначают K ∙ ( s 1 , … , s r ) = K ∙ ( s ) . {displaystyle K_{ullet }(s_{1},dots ,s_{r})=K_{ullet }(s).}

Если M — конечно порождённый R-модуль, полагают

K ∙ ( s , M ) = K ∙ ( s ) ⊗ R M {displaystyle K_{ullet }(s,M)=K_{ullet }(s)otimes _{R}M} .

i-е гомологии комплекса Кошуля

H i ⁡ ( K ∙ ( s , M ) ) = ker ⁡ ( d i ⊗ 1 M ) / im ⁡ ( d i + 1 ⊗ 1 M ) {displaystyle operatorname {H} _{i}(K_{ullet }(s,M))=operatorname {ker} (d_{i}otimes 1_{M})/operatorname {im} (d_{i+1}otimes 1_{M})}

называются i-ми гомологиями Кошуля. Например, если E = Rr и s = [ s 1 ⋯ s r ] {displaystyle s=[s_{1}cdots s_{r}]} — вектор-строка из элементов R, то дифференциал комплекса Кошуля d 1 ⊗ 1 M {displaystyle d_{1}otimes 1_{M}} есть

s : M r → M , ( m 1 , … , m r ) ↦ s 1 m 1 + ⋯ + s r m r {displaystyle s:M^{r} o M,,(m_{1},dots ,m_{r})mapsto s_{1}m_{1}+dots +s_{r}m_{r}}

и

H 0 ⁡ ( K ∙ ( s , M ) ) = M / ( s 1 , … , s r ) M = R / ( s 1 , … , s r ) ⊗ R M . {displaystyle operatorname {H} _{0}(K_{ullet }(s,M))=M/(s_{1},dots ,s_{r})M=R/(s_{1},dots ,s_{r})otimes _{R}M.}

Также

H r ⁡ ( K ∙ ( s , M ) ) = { m ∈ M : s 1 m = s 2 m = ⋯ = s r m = 0 } = Hom R ⁡ ( R / ( s 1 , … , s r ) , M ) . {displaystyle operatorname {H} _{r}(K_{ullet }(s,M))={min M:s_{1}m=s_{2}m=dots =s_{r}m=0}=operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},dots ,s_{r}),M).}

Комплексы Кошуля малых размерностей

Если даны элемент x кольца R и R-модуль M, умножение на x даёт гомоморфизм R-модулей

M → M . {displaystyle M o M.}

Если рассматривать его как цепной комплекс (сосредоточенный в степенях 1 и 0), он обозначается K ( x , M ) {displaystyle K(x,M)} . Его гомологии равны

H 0 ( K ( x , M ) ) = M / x M , H 1 ( K ( x , M ) ) = A n n M ( x ) = { m ∈ M , x m = 0 } , {displaystyle H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=Ann_{M}(x)={min M,xm=0},}

Таким образом, комплекс Кошуля и его гомологии хранят основную информацию о свойствах умножения на x.

Цепной комплекс K•(x) называется комплексом Кошуля элемента x кольца R. Если x1, x2, …, xn — элементы R, комплекс Кошуля последовательности x1, x2, …, xn, обычно обозначаемый K•(x1, x2, …, xn), есть тензорное произведение K ∙ ( x 1 ) ⊗ K ∙ ( x 2 ) ⊗ ⋯ ⊗ K ∙ ( x n ) {displaystyle K_{ullet }(x_{1})otimes K_{ullet }(x_{2})otimes cdots otimes K_{ullet }(x_{n})} комплексов Кошуля для каждого i.

Комплекс Кошуля для пары ( x , y ) ∈ R 2 {displaystyle (x,y)in R^{2}} имеет вид

0 → R →   d 2   R 2 →   d 1   R → 0 , {displaystyle 0 o R{xrightarrow { d_{2} }}R^{2}{xrightarrow { d_{1} }}R o 0,}

где матрицы d 1 {displaystyle d_{1}} и d 2 {displaystyle d_{2}} задаются как

d 1 = [ x y ] {displaystyle d_{1}={egin{bmatrix}x&yend{bmatrix}}} and d 2 = [ − y x ] . {displaystyle d_{2}={egin{bmatrix}-yxend{bmatrix}}.}

Тогда циклы степени 1 — это в точности линейные соотношения между элементами x и y, тогда как границы — это тривиальные соотношения. Первые гомологии Кошуля H1(K•(x, y)), таким образом, описывают соотношения по модулю тривиальных соотношений.

В случае, когда элементы x1, x2, …, xn образуют регулярную последовательность, все высшие гомологии Кошуля зануляются.

Пример

Если k — это поле, X1, X2, …, Xd — неизвестные и R — это кольцо многочленов k[X1, X2, …, Xd], комплекс Кошуля K•(Xi) последовательности Xi является конкретным примером свободной резольвенты R-модуля k.