Порядок элемента

07.12.2021

Порядок элемента в теории групп — наименьшее положительное целое m {displaystyle m} , такое что m {displaystyle m} -кратное групповое умножение данного элемента g ∈ G {displaystyle gin G} на себя даёт нейтральный элемент:

g g … g ⏟ m = g m = e {displaystyle underbrace {ggdots g} _{m}=g^{m}=e} .

Иными словами, m {displaystyle m} — количество различных элементов циклической подгруппы, порождённой данным элементом. Если такого m {displaystyle m} не существует (или, эквивалентно, число элементов циклической подгруппы бесконечно), то говорят, что g {displaystyle g} имеет бесконечный порядок. Обозначается как o r d ( g ) {displaystyle mathrm {ord} (g)} или | g | {displaystyle |g|} .

Изучение порядков элементов группы может дать сведения о её структуре. Несколько глубоких вопросов о связи порядка элементов и порядка группы содержатся в различных проблемах Бёрнсайда, некоторые из них остаются открытыми.

Основные свойства

Порядок элемента равен единице тогда и только тогда, когда элемент является нейтральным.

Если всякий не нейтральный элемент в G {displaystyle G} совпадает со своим обратным (то есть g 2 = e {displaystyle g^{2}=e} ), то o r d ( a ) = 2 {displaystyle mathrm {ord} (a)=2} и G {displaystyle G} является абелевой, поскольку a b = ( a b ) − 1 = b − 1 a − 1 = b a {displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba} . Обратное утверждение в общем случае неверно: например, (аддитивная) циклическая группа Z 6 {displaystyle mathbb {Z} _{6}} целых чисел по модулю 6 — абелева, но число 2 имеет порядок 3:

2 + 2 + 2 = 6 ≡ 0 ( mod 6 ) {displaystyle 2+2+2=6equiv 0{pmod {6}}} .

Для любого целого k {displaystyle k} тождество g k = e {displaystyle g^{k}=e} выполнено тогда и только тогда, когда o r d ( g ) {displaystyle mathrm {ord} (g)} делит k {displaystyle k} .

Все степени элемента бесконечного порядка имеют также бесконечный порядок. Если g {displaystyle g} имеет конечный порядок, то порядок g k {displaystyle g^{k}} равен порядку g {displaystyle g} , делённому на наибольший общий делитель чисел o r d ( g ) {displaystyle mathrm {ord} (g)} и k {displaystyle k} . Порядок обратного элемента совпадает с порядком самого элемента ( o r d ( g ) = o r d ( g − 1 ) {displaystyle mathrm {ord} (g)=mathrm {ord} (g^{-1})} ).

Связь с порядком группы

Порядок любого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметрической группе S 3 {displaystyle S_{3}} , состоящей из шести элементов, нейтральный элемент e {displaystyle e} имеет (по определению) порядок 1, три элемента, являющихся корнями из e {displaystyle e} — порядок 2, а порядок 3 имеют два оставшихся элемента, являющихся корнями элементов порядка 2: то есть, все порядки элементов являются делителями порядка группы.

Частично обратное утверждение верно для конечных групп (теоретико-групповая теорема Коши): если простое число p {displaystyle p} делит порядок группы G {displaystyle G} , то существует элемент g ∈ G {displaystyle gin G} , для которого o r d ( g ) = p {displaystyle mathrm {ord} (g)=p} . Утверждение не выполняется для составных порядков, так, четверная группа Клейна не содержит элемента порядка четыре.

Порядок произведения

В любой группе o r d ( a b ) = o r d ( b a ) {displaystyle mathrm {ord} (ab)=mathrm {ord} (ba)} .

Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения a b {displaystyle ab} с порядками сомножителей a {displaystyle a} и b {displaystyle b} . Возможен случай, когда и a {displaystyle a} , и b {displaystyle b} имеют конечные порядки, в то время как порядок произведения a b {displaystyle ab} бесконечен, также возможно, что и a {displaystyle a} , и b {displaystyle b} имеют бесконечный порядок, в то время как o r d ( a b ) {displaystyle mathrm {ord} (ab)} конечен. Пример первого случая — в симметрической группе над целыми числами перестановки, задаваемые формулами a ( x ) = 2 − x , b ( x ) = 1 − x {displaystyle a(x)=2-x,b(x)=1-x} , тогда a b ( x ) = x − 1 {displaystyle ab(x)=x-1} . Пример второго случая — перестановки в той же группе a ( x ) = x + 1 , b ( x ) = x − 1 {displaystyle a(x)=x+1,b(x)=x-1} , произведение которых является нейтральным элементом (перестановка a b ( x ) = i d {displaystyle ab(x)=mathrm {id} } , оставляющая элементы на своих местах). Если a b = b a {displaystyle ab=ba} то можно утверждать, что o r d ( a b ) {displaystyle mathrm {ord} (ab)} делит наименьшее общее кратное чисел o r d ( a ) {displaystyle mathrm {ord} (a)} и o r d ( b ) {displaystyle mathrm {ord} (b)} . Следствием этого факта является, что в конечной абелевой группе порядок любого элемента делит максимальный порядок элементов группы.

Подсчёт по порядку элементов

Для данной конечной группы G {displaystyle G} порядка n {displaystyle n} , число элементов с порядком d {displaystyle d} ( d {displaystyle d} — делитель n {displaystyle n} ) кратно φ ( d ) {displaystyle varphi (d)} , где φ {displaystyle varphi } — функция Эйлера, дающая число положительных чисел, не превосходящих d {displaystyle d} и взаимно простых с ним. Например, в случае S 3 {displaystyle S_{3}} φ ( 3 ) = 2 {displaystyle varphi (3)=2} , и имеется в точности два элемента порядка 3; при этом данное утверждение не даёт никакой полезной информации относительно элементов порядка 2, поскольку φ ( 2 ) = 1 {displaystyle varphi (2)=1} , и очень ограниченную информацию о составных числах, таких как d = 6 {displaystyle d=6} , поскольку φ ( 6 ) = 2 {displaystyle varphi (6)=2} , и в группе S 3 {displaystyle S_{3}} имеется нуль элементов порядка 6.

Связь с гомоморфизмами

Гомоморфизмы групп имеют свойство понижать порядок элементов. Если f : G → H {displaystyle f:G o H} является гомоморфизмом, и g ∈ G {displaystyle gin G} — элемент конечного порядка, то o r d ( f ( g ) ) {displaystyle mathrm {ord} (f(g))} делит o r d ( g ) {displaystyle mathrm {ord} (g)} . Если f {displaystyle f} инъективно, то o r d ( f ( g ) ) = o r d ( g ) {displaystyle mathrm {ord} (f(g))=mathrm {ord} (g)} . Этот факт может быть использован для доказательства отсутствия (инъективного) гомоморфизма между двумя какими-либо заданными группами. (Например, не существует нетривиального гомоморфизма h : S 3 → Z 5 {displaystyle h:S_{3} o mathbb {Z} _{5}} , поскольку любое число, за исключением нуля, в Z 5 {displaystyle mathbb {Z} _{5}} имеет порядок 5, а 5 не делит ни один из порядков 1, 2 и 3 элементов S 3 {displaystyle S_{3}} .) Другим следствием является утверждение, что сопряжённые элементы имеют одинаковый порядок.