Примитивный многочлен (теория чисел)

18.12.2021

В теории чисел и теории полей примитивный многочлен над конечным полем G F ( p ) {displaystyle GF(p)} — это минимальный многочлен примитивного элемента поля G F ( p m ) {displaystyle GF(p^{m})} для положительного целого числа m. При этом m с необходимостью является степенью примитивного многочлена.

Примитивный многочлен является неприводимым.

Свойства

  • если P ( X ) {displaystyle P(X)} примитивный многочлен степени m {displaystyle m} , то примитивен и x m P ( x − 1 ) {displaystyle x^{m}P(x^{-1})} ; в частности:
    • если примитивен многочлен x a + x b + 1 {displaystyle x^{a}+x^{b}+1} для некоторых a > b > 0 {displaystyle a>b>0} , то примитивен и x a + x a − b + 1 {displaystyle x^{a}+x^{a-b}+1} .