Математическая формулировка общей теории относительности

08.01.2022

В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности.

Исходные положения

Наше интуитивное восприятие указывает нам, что пространство-время является регулярным и непрерывным, то есть не имеет «дыр». Математически эти свойства обозначают, что пространство-время будет моделироваться гладким дифференцируемым многообразием 4 измерений M 4 {displaystyle M_{4}} , то есть пространством размерности 4, для которого окрестность каждой точки походит локально на четырёхмерное евклидово пространство. Гладкость здесь означает достаточную дифференцируемость, пока без уточнения её степени.

Так как кроме того с хорошей точностью выполняются законы специальной теории относительности, то такое многообразие можно наделить лоренцевой метрикой, то есть невырожденным метрическим тензором с сигнатурой { − , + , + , + } {displaystyle {-,+,+,+}} (или, что эквивалентно, { + , − , − , − } {displaystyle {+,-,-,-}} ). Значение этого раскрывается в следующем разделе.

Геометрия пространства-времени

NB Эта статья следует классическим соглашениям знаков Мизнера, Торна и Уилера

В этой статье принимается также соглашение Эйнштейна для суммирования по повторяющимся индексам.

Метрический тензор

Дифференцируемое многообразие M, снабжённое лоренцевым метрическим тензором g, и представляет собой таким образом Лоренцево многообразие, которое составляет частный случай псевдориманова многообразия (определение «лоренцев» будет уточнено дальше в тексте; см. ниже раздел Лоренцева метрика).

Возьмём какую-нибудь систему координат x μ {displaystyle x^{mu }} в окрестности точки P {displaystyle P} , и пусть e μ ( x ) {displaystyle {mathbf {e} }_{mu }(x)} — локальный базис в касательном пространстве T x M {displaystyle T_{x}M} к многообразию M {displaystyle M} в точке x ∈ M {displaystyle xin M} . Касательный вектор w ∈ T x M {displaystyle mathbf {w} in T_{x}M} запишется тогда как линейная комбинация базисных векторов:

При этом величины   w μ {displaystyle w^{mu }} называются контравариантными компонентами вектора w. Метрический тензор g {displaystyle mathbf {g} } тогда — симметричная билинейная форма:

где через d x μ {displaystyle dx^{mu }} обозначен дуальный по отношению к e μ ( x ) {displaystyle {mathbf {e} }_{mu }(x)} базис в кокасательном пространстве T x ∗ M {displaystyle T_{x}^{*}M} , то есть такие линейные формы на T x M {displaystyle T_{x}M} , что:

Далее будем предполагать, что компоненты g μ ν ( x ) {displaystyle g_{mu u }(x)} метрического тензора меняются в пространстве-времени непрерывно.

Метрический тензор, таким образом, может быть представлен действительной симметричной матрицей 4x4:

Вообще любая действительная матрица 4x4 имеет априори 4 x 4 = 16 независимых элементов. Условие симметрии уменьшает это число до 10: на самом деле, остаётся 4 диагональных элемента, к которым надо добавить (16 — 4)/2 = 6 недиагональных элементов. Тензор g μ ν {displaystyle g_{mu u }} обладает, таким образом, только 10 независимыми компонентами.

Скалярное произведение

Метрический тензор определяет для каждой точки x ∈ M {displaystyle xin M} многообразия псевдо-скалярное произведение («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в касательном к многообразию M {displaystyle M^{}} в точке x {displaystyle x} псевдоевклидовом пространстве T x M {displaystyle T_{x}M} . Если u {displaystyle mathbf {u} } и v {displaystyle mathbf {v} } — два вектора T x M {displaystyle T_{x}M} , их скалярное произведение запишется как:

В частности, взяв два базисных вектора, получаем компоненты:

Замечание: если величины w μ {displaystyle w^{mu }} обозначают контравариантные компоненты вектора w, то можно определить также его ковариантные компоненты как:

Элементарное расстояние — интервал

Рассмотрим вектор элементарного перемещения d P   =   ϵ μ e μ {displaystyle dmathbf {P} = epsilon ^{mu }mathbf {e} _{mu }} между точкой P {displaystyle P^{}} и бесконечно близкой точкой: | ϵ μ | ≪ 1 {displaystyle |epsilon ^{mu }|ll 1} . Инвариантной инфинитезимальной нормой этого вектора будет действительное число, обозначаемое d s 2 {displaystyle ds^{2}} , называемое квадратом интервала, и равное:

Если обозначить компоненты вектора элементарного перемещения «по-физически» ϵ μ = d x μ {displaystyle epsilon ^{mu }=dx^{mu }} , инфинитезимальный квадрат длины (интервала) запишется формально как:

Внимание: в этой формуле, а также и далее, d x μ {displaystyle dx^{mu }} представляет собой действительное число, которое интерпретируется физически как «инфинитезимальное изменение» координаты x μ {displaystyle x^{mu }} , а не как дифференциальная форма!

Лоренцева метрика

Уточним теперь выражение «лоренцева» (точнее локально лоренцева), которое означает, что метрический тензор имеет сигнатуру (1,3) и локально совпадает в первом порядке с лоренцевой метрикой специальной теории относительности. Принцип эквивалентности утверждает, что можно «стереть» локально поле гравитации, выбирая локально инерциальную систему координат. С математической точки зрения такой выбор является переформулировкой известной теоремы о возможности приведения квадратичной формы к главным осям.

В такой локально инерциальной системе координат X α {displaystyle X^{alpha }} инвариант d s 2 {displaystyle ds^{2}} в точке P {displaystyle P} запишется как:

где η α β {displaystyle eta _{alpha eta }} является метрикой пространства-времени Минковского, а в малой окрестности этой точки

где δ α β {displaystyle delta _{alpha eta }} имеет минимум второй порядок малости по отклонениям координат от точки P {displaystyle P} , то есть δ α β | P = 0 ,   ∂ δ α β ∂ X α | P = 0 {displaystyle delta _{alpha eta }|_{P}=0, left.{frac {partial delta _{alpha eta }}{partial X^{alpha }}} ight|_{P}=0} . Принимая соглашение знаков Мизнера, Торна и Уилера, имеем:

Далее используются следующие обычные соглашения:

  • греческие индексы меняются от 0 до 3. Они соответствуют величинам в пространстве-времени.
  • латинские индексы меняются от 1 до 3. Они соответствуют пространственным составляющим величин в пространстве-времени.

Например, 4-вектор положения запишется в локально инерциальной системе координат как:

Внимание: на самом деле конечные, а не инфинитезимальные приращения координат не образуют вектора. Вектор из них возникает лишь в однородном пространстве нулевой кривизны и тривиальной топологии.

Лоренцев характер многообразия M {displaystyle M^{}} обеспечивает, таким образом, то, что касательные к M {displaystyle M^{}} в каждой точке псевдоевклидова пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующим времени). В частности, элементарный интервал «собственного времени», отделяющий два последовательных события, всегда:

Общие понятия аффинной связности и ковариантной производной

Обобщенно, аффинной связностью называется оператор ∇ {displaystyle abla } , который приводит в соответствие векторному полю V {displaystyle mathbf {V} } из касательного пучка T M {displaystyle TM} поле эндоморфизмов ∇ V {displaystyle abla mathbf {V} } этого пучка. Если w ∈ T x M {displaystyle {mathbf {w} }in T_{x}M} — касательный вектор в точке x ∈ M {displaystyle xin M} , обычно обозначают

Говорят, что ∇ w V {displaystyle abla _{mathbf {w} }mathbf {V} } является «ковариантной производной» вектора V {displaystyle mathbf {V} } в направлении w {displaystyle {mathbf {w} }} . Предположим к тому же, что ∇ V {displaystyle abla mathbf {V} } удовлетворяет дополнительному условию: для любой функции f справедливо

Ковариантная производная удовлетворяет следующим двум свойствам линейности:

  • линейность по w, то есть, какими бы ни были поля векторов w и u и действительные числа a и b, мы имеем:
  • линейность по V, то есть, какими бы ни были поля векторов X и Y и действительные числа a и b, мы имеем:

Как только ковариантная производная определена для полей векторов, она может быть распространена на тензорные поля с использованием правила Лейбница: если T {displaystyle mathbf {T} } и S {displaystyle mathbf {S} } — два любых тензора, то по определению:

Ковариантная производная поля тензора вдоль вектора w есть снова поле тензора того же типа.

Связность, ассоциированная с метрикой

Можно доказать, что связность, ассоциированная с метрикой — связность Леви-Чивиты [1], является единственной связностью, помимо предыдущих условий дополнительно обеспечивающей то, что для любых полей векторов X, Y, Z из TM

  • ∇ X ( g ( Y , Z ) )   =   g ( ∇ X Y , Z )   +   g ( Y , ∇ X Z ) {displaystyle abla _{mathbf {X} }(mathbf {g} (mathbf {Y} ,mathbf {Z} )) = mathbf {g} ( abla _{mathbf {X} }mathbf {Y} ,mathbf {Z} ) + mathbf {g} (mathbf {Y} , abla _{mathbf {X} }mathbf {Z} )} (метричность — тензор неметричности равен нулю).
  • ∇ X Y   −   ∇ Y X   =   [ X , Y ] {displaystyle abla _{mathbf {X} }mathbf {Y} - abla _{mathbf {Y} }mathbf {X} = [mathbf {X} ,mathbf {Y} ]} , где [ X , Y ] {displaystyle [mathbf {X} ,mathbf {Y} ]} — коммутатор Ли от X и Y (отсутствие кручения — тензор кручения равен нулю).

Описание в координатах

Ковариантная производная вектора есть вектор, и, таким образом, она может быть выражена как линейная комбинация всех базисных векторов:

где Γ ρ {displaystyle Gamma ^{ ho }} представляют собой компоненты вектора ковариантной производной в направлении e ρ {displaystyle mathbf {e} _{ ho }} (эта составляющая зависит от выбранного вектора w).

Чтобы описать ковариантную производную, достаточно описать её для каждого из базисных векторов e ν {displaystyle mathbf {e} _{ u }} вдоль направления e μ {displaystyle mathbf {e} _{mu }} . Определим тогда символы Кристоффеля (или просто кристоффели) Γ ρ μ ν , {displaystyle Gamma ^{ ho }{}_{mu u },} зависящие от 3 индексов

Связность Леви-Чивиты полностью характеризуется своими символами Кристоффеля. Согласно общей формуле

для вектора V:

Зная, что d V ν ( e μ ) = ∂ μ V ν {displaystyle dV^{ u }(mathbf {e} _{mu })=partial _{mu }V^{ u }} , получаем:

Первый член этой формулы описывает «деформацию» системы координат по отношению к ковариантной производной, а второй — изменения координат вектора V. При суммировании по немым индексам мы можем переписать это соотношение в форме

Из этого получаем важную формулу для компонент:

Используя формулу Лейбница, таким же образом можно продемонстрировать, что:

Чтобы вычислить эти составляющие в явной форме, выражения для символов Кристоффеля должны быть определены, исходя из метрики. Их легко получить, написав следующие условия:

Расчёт этой ковариантной производной приводит к

где g μ ν   {displaystyle g^{mu u } } — компоненты «обратного» метрического тензора, определенные уравнениями

Символы Кристоффеля «симметричны» по отношению к нижним индексам: Γ μ ρ σ = Γ μ σ ρ .   {displaystyle Gamma ^{mu }{}_{ ho sigma }=Gamma ^{mu }{}_{sigma ho }. }

Замечание: иногда определяются также следующие символы:

получаемые как:

Тензор кривизны Римана

Тензор кривизны Римана R — тензор 4-й валентности, определённый для любых векторных полей X, Y, Z из M как

Его компоненты в явной форме выражаются из метрических коэффициентов:

Симметрии этого тензора:

Он удовлетворяет также следующему соотношению:

Тензор кривизны Риччи

Тензор Риччи — тензор валентности 2, определенный свёрткой тензора кривизны Римана

Его компоненты в явном виде через символы Кристоффеля:

Этот тензор симметричен: R μ ν   =   R ν μ   {displaystyle R_{mu u } = R_{ u mu } } .

Скалярная кривизна

Скалярная кривизна является инвариантом, определяемым свёрткой тензора Риччи с метрикой

Уравнения Эйнштейна

Уравнения гравитационного поля, которые называются уравнениями Эйнштейна, записываются так

или так

где Λ {displaystyle Lambda } — космологическая константа, c {displaystyle c} — скорость света в вакууме, G {displaystyle G} — гравитационная постоянная, которая появляется также в законе всемирного тяготения Ньютона, G μ ν = R μ ν   −   1 2 g μ ν R {displaystyle G_{mu u }=R_{mu u } - {frac {1}{2}},g_{mu u },R} — тензор Эйнштейна, а T μ ν {displaystyle T_{mu u }} — тензор энергии-импульса.

Симметричный тензор g μ ν {displaystyle g_{mu u }} имеет только 10 независимых составляющих, тензорное уравнение Эйнштейна в заданной системе координат эквивалентно системе 10 скалярных уравнений. Эта система 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных в большинстве случаев очень трудна для изучения.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

  • T00 — объёмная плотность энергии. Она должна быть положительной.
  • T10, T20, T30 — плотности компонент импульса.
  • T01, T02, T03 — компоненты потока энергии.
  • Под-матрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:

— матрица потоков импульсов. В механике жидкости диагональные компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице d i a g ( ρ c 2 ,   p ,   p ,   p ) {displaystyle { m {diag}}({{ ho }c^{2}},~p,~p,~p)} , где ρ {displaystyle { ho }} есть плотность массы, а p {displaystyle p} — гидростатическое давление.