Счётно-аддитивная функция множеств

13.01.2022

Счётно-аддитивная функция множеств — вещественнозначная функция множеств f : Σ → R {displaystyle fcolon Sigma o mathbb {R} } , обладающая свойством аддитивности по отношению к счётной последовательности непересекающихся множеств:

f ( ⋃ i = 1 ∞ S i ) = ∑ i = 1 ∞ f ( S i ) {displaystyle f(igcup _{i=1}^{infty }S_{i})=sum _{i=1}^{infty }f(S_{i})} ,

где для каждого i ∈ N {displaystyle iin mathbb {N} } S i ⊆ Σ {displaystyle S_{i}subseteq Sigma } и S i ∩ S j = ∅ {displaystyle S_{i}cap S_{j}=varnothing } для всех i ≠ j {displaystyle i eq j} .

Особый интерес такие функции представляют в связи с определением меры: σ {displaystyle sigma } -аддитивной мерой является всякая неотрицательная счётно-аддитивная функция множеств, определённая на σ {displaystyle sigma } -алгебре и обращающаяся в нуль на пустом множестве.