Фуксова группа

23.01.2022

Фуксова группа — дискретная подгруппа группы PSL(2,R). Группа P S L ( 2 , R ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {R} )} может рассматриваться как группа движений гиперболической плоскости, или конформные отображения единичного диска, или конформные отображения верхней полуплоскости. Соответственно, фуксову группу можно рассматривать как группу, действующую на любом из этих пространств. В других трактовках фуксова группа определяется как группа с конечным числом генераторов, либо как подгруппа P G L ( 2 , R ) {displaystyle mathrm {PGL} (2,mathbb {R} )} , содержащая сохраняющие ориентацию элементы. Также приемлемо определение фуксовой группы, как клейновой (дискретная группа of PSL(2,C)), которая сопряжена с подгруппой группы P S L ( 2 , R ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {R} )} .

Фуксовы группы используются для создания фуксовой модели римановых поверхностей. В этом случае группа может быть названа фуксовой группой поверхности. В некотором смысле фуксовы группы делают для неевклидовой геометрии то же, что и кристаллографические группы делают для евклидовой геометрии. Некоторые рисунки Эшера построены на основе фуксовых групп (для дисковой модели геометрии Лобачевского).

Общие фуксовы группы первым изучал Анри Пуанкаре, заинтересовавшись статьёй Лазаруса Фукса, именно от его имени и происходит данное название.

Фуксовы группы на верхней полуплоскости

Пусть H = { z ∈ C : I m ( z ) > 0 {displaystyle mathbb {H} ={zin mathbb {C} :mathrm {Im} (z)>0} будет верхней полуплоскостью. Тогда H {displaystyle mathbb {H} } является моделью гиперболической плоскости, которая снабжена метрикой

d s = 1 y d x 2 + d y 2 . {displaystyle ds={frac {1}{y}}{sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.}

Группа PSL(2,R) действует на H {displaystyle mathbb {H} } дробно-линейным преобразованием (которое известно как преобразования Мёбиуса):

( a b c d ) ⋅ z = a z + b c z + d . {displaystyle {egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}cdot z={frac {az+b}{cz+d}}.}

Это действие эффективно и фактически P S L ( 2 , R ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {R} )} изоморфно группе всех сохраняющих ориентацию движений of H {displaystyle mathbb {H} } .

Фуксова группа Γ {displaystyle Gamma } может быть определена как подгруппа группы P S L ( 2 , R ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {R} )} , которая действуют разрывно на H {displaystyle mathbb {H} } . То есть

  • Для любого z в H {displaystyle mathbb {H} } орбиты Γ z = { γ z : γ ∈ Γ } {displaystyle {Gamma }z={{gamma }zcolon gamma in Gamma }} не имеют предельных точек в H {displaystyle mathbb {H} } .

Эквивалентное определение — группа Γ {displaystyle Gamma } фуксова, когда Γ {displaystyle Gamma } дискретна. Это означает, что:

  • Любая последовательность { γ n } {displaystyle {gamma _{n}}} элементов Γ {displaystyle Gamma } , сходящаяся к тождественному элементу в обычной топологии поточечной сходимости, в конечном счёте константна, то есть существует целое число N, такое что для любого n > N γ n = E {displaystyle gamma _{n}=E} , где E является единичной матрицей.

Хотя разрывность и дискретность эквивалентны в данном случае, это неверно для случая произвольных групп конформных гомеоморфизмов, действующих на полной сфере Римана (в противоположность H {displaystyle mathbb {H} } ). Более того, фуксова группа P S L ( 2 , Z ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {Z} )} дискретна, но имеет предельные точки на вещественной прямой Im z = 0 — элементы P S L ( 2 , Z ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {Z} )} будут иметь z = 0 для любого рационального числа, а рациональные числа Q {displaystyle mathbb {Q} } плотны в R {displaystyle mathbb {R} } .

Основное определение

Дробно-линейное преобразование, определённое матрицей из P S L ( 2 , C ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {C} )} , сохраняет сферу Римана P 1 ( C ) = C ∪ ∞ {displaystyle mathbf {P} ^{1}(mathbb {C} )=mathbb {C} cup infty } , но посылает верхнюю полуплоскость H {displaystyle mathbb {H} } в некоторый открытый диск Δ {displaystyle Delta } . Преобразование, сопряжённое такому преобразованию, посылает дискретную подгруппу P S L ( 2 , R ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {R} )} в дискретную подгруппу группы P S L ( 2 , C ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {C} )} , сохраняя Δ {displaystyle Delta } .

Это обуславливает следующее определение фуксовой группы. Пусть Γ ⊂ P S L ( 2 , C ) {displaystyle Gamma subset mathrm {PSL} (2,mathbb {C} )} действует инвариантно на собственный открытый диск Δ ⊂ C ∪ ∞ {displaystyle Delta subset mathbb {C} cup infty } , то есть, Γ ( Δ ) = Δ {displaystyle Gamma (Delta )=Delta } . Тогда Γ {displaystyle Gamma } является фуксовым тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных свойств:

  • Γ {displaystyle Gamma } является дискретной группой (с учётом стандартной топологии на P S L ( 2 , C ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {C} )} ).
  • Γ {displaystyle Gamma } действует собственно разрывно в каждой точке z ∈ Δ {displaystyle zin Delta } .
  • множество Δ {displaystyle Delta } является подмножеством области разрывности Ω ( Γ ) {displaystyle Omega (Gamma )} of Γ {displaystyle Gamma } .
  • То есть любое из этих трёх свойств может быть использовано как определение фуксовой группы, другие следуют из выбранного определения как теоремы. Понятие собственного инвариантного разрывного подмножества Δ {displaystyle Delta } важно. Так называемая группа Пикара P S L ( 2 , Z [ i ] ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {Z} [i])} дискретна, но не сохраняет какой-либо диск в сфере Римана. Более того, даже модулярная группа P S L ( 2 , Z ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {Z} )} , которая является фуксовой группой, не действует разрывно на вещественной прямой. Она имеет предельные точки в рациональных числах. Аналогично, идея, что Δ {displaystyle Delta } является собственным подмножеством области разрывности важна. Если этого нет, подгруппа называется клейновой группой.

    Обычно в качестве инвариантной области Δ {displaystyle Delta } берётся либо открытый единичный диск, либо верхняя полуплоскость.

    Предельные множества

    Ввиду дискретности действия орбита Γ z {displaystyle {Gamma }z} точки z в верхней полуплоскости под действием Γ {displaystyle Gamma } не имеет точек сгущения в верхней полуплоскости. Могут существовать, однако, предельные точки на вещественной оси. Пусть Λ ( Γ ) {displaystyle Lambda (Gamma )} будет предельным множеством группы Γ {displaystyle Gamma } , то есть, множество предельных точек Γ z {displaystyle {Gamma }z} для z ∈ H {displaystyle zin mathbb {H} } . Тогда Λ ( Γ ) ⊆ R ∪ ∞ {displaystyle Lambda (Gamma )subseteq mathbb {R} cup infty } . Предельное множество может быть пустым или состоять из одной или двух точек, а может состоять и из бесконечного числа. В последнем случае есть два варианта:

    Фуксова группа первого типа — это группа, для которой предельное множество является замкнутой вещественной прямой R ∪ ∞ {displaystyle mathbb {R} cup infty } . Это случается, когда факторпространство H / Γ {displaystyle mathbb {H} /Gamma } имеет конечный объём, но имеются фуксовы группы первого рода с бесконечным кообъёмом.

    В противном случае говорят, что фуксова группа имеет второй тип. Эквивалентно, это группа, для которой предельное множество является совершенным множеством, то есть нигде не плотным множеством на R ∪ ∞ {displaystyle mathbb {R} cup infty } . Поскольку это нигде не плотное множество, из этого следует, что любая предельная точка произвольно близка к некоторому открытому множеству, не принадлежащему предельному множеству. Другими словами, предельное множество является множеством Кантора.

    Тип фуксовой группы не обязательно должен быть тем же самым, если рассматривать её как клейнову группу — фактически, все фуксовы группы являются клейновыми группами второго типа, так как их предельные множества (как клейновые группы) являются собственными подмножествами сферы Римана, содержащихся в некотором круге.

    Примеры

    Пример фуксовой группы — это модулярная группа P S L ( 2 , Z ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {Z} )} . Она является подгруппой группы P S L ( 2 , R ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,R)} , состоящей из дробно-линейных преобразований

    ( a b c d ) ⋅ z = a z + b c z + d {displaystyle {egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}cdot z={frac {az+b}{cz+d}}}

    где a, b, c, d — целые числа. Факторпространство H / P S L ( 2 , Z ) {displaystyle mathbb {H} /mathrm {PSL} (2,mathbb {Z} )} является пространством модулей эллиптических кривых.

    Фуксовы группы включают также группы Γ ( n ) {displaystyle Gamma (n)} для каждого n > 0. Здесь Γ ( n ) {displaystyle Gamma (n)} состоит из дробно-линейных преобразований вышеприведённого вида, где элементы матрицы

    ( a b c d ) {displaystyle {egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}}

    сравнимы с элементами единичной матрицы по подулю n.

    Кокомпактным примером служит (обычная) Группа треугольника (2,3,7) (по вращениям), содержащая все фуксовы группы квартики Клейна и поверхности Макбита, как и другие группы Гурвица. Более обще, любая гиперболическая группа фон Дика (подгруппа группы треугольника с индексом 2, соответствующая сохраняющим ориентацию движениям) является фуксовой группой.

    Все они являются фуксовыми группами первого рода.

    • Все гиперболические и параболические циклические подгруппы группы P S L ( 2 , R ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {R} )} фуксовы.
    • Любая эллиптческая циклическая подгруппа фуксова тогда и только тогда, когда она конечна.
    • Любая абелева фуксова группа циклична.
    • Никакая фуксова группа не изоморфна Z × Z {displaystyle mathbb {Z} imes mathbb {Z} } .
    • Пусть Γ {displaystyle Gamma } будет неабелевой фуксовой группой. Тогда нормализатор группы Γ {displaystyle Gamma } в P S L ( 2 , R ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {R} )} фуксовы.

    Метрические свойства

    Если h является гиперболическим элементом, длина переноса L действия группы в верхней полуплоскости связана со следом h как 2 × 2 {displaystyle 2 imes 2} матрицы отношением

    | t r h | = 2 cosh ⁡ L 2 . {displaystyle |mathrm {tr} ;h|=2cosh {frac {L}{2}}.}

    Аналогичное свойство имеет место для систолы соответствующей римановой поверхности, если фуксова группа не имеет кручения и кокомпактна.