Основная теорема о вычетах

12.04.2022

Основная теорема о вычетах — мощный инструмент для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Формулировка: если функция f {displaystyle f} аналитична в некоторой замкнутой односвязной области G ¯ ⊂ C {displaystyle {overline {G}}subset mathbb {C} } , за исключением конечного числа особых точек a 1 , a 2 , … , a n {displaystyle a_{1},a_{2},dots ,a_{n}} , из которых ни одна не принадлежит граничному контуру ∂ G {displaystyle partial G} , то справедлива следующая формула:

  ∫ ∂ G f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n r e s z = a k ⁡ f ( z ) , {displaystyle ~int limits _{partial G}f(z),dz=2pi isum _{k=1}^{n}mathop {mathrm {res} } _{z=a_{k}}f(z),}

где r e s z = a k ⁡ f {displaystyle mathop {mathrm {res} } _{z=a_{k}}f} — вычет функции f {displaystyle f} в точке a k {displaystyle a_{k}} .

Обход контура ∂ G {displaystyle partial G} производится против часовой стрелки. Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно аналитически продолжить интегрируемую вещественную функцию на комплексную плоскость и найти её вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

Пример

Интеграл

  ∫ − ∞ ∞ e i t x x 2 + 1 d x {displaystyle ~int limits _{-infty }^{infty }{e^{itx} over x^{2}+1},dx}

возникает в теории вероятностей при расчёте характеристической функции распределения Коши и не поддаётся вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру C {displaystyle C} , указанному на рисунке ( a > 1 {displaystyle a>1} ). Интеграл равен

  ∫ C f ( z ) d z = ∫ C e i t z z 2 + 1 d z . {displaystyle ~int limits _{C}{f(z)},dz=int limits _{C}{e^{itz} over z^{2}+1},dz.}

Так как e i t z {displaystyle e^{itz}} — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где z 2 + 1 = 0 {displaystyle z^{2}+1=0} . Так как z 2 + 1 = ( z + i ) ( z − i ) {displaystyle z^{2}+1=(z+i)(z-i)} , это возможно лишь при z = i {displaystyle z=i} или z = − i {displaystyle z=-i} . В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.

Вычет f ( z ) {displaystyle f(z)} в z = i {displaystyle z=i} равен

r e s z = i ⁡ f ( z ) = e − t 2 i . {displaystyle mathop {mathrm {res} } _{z=i}f(z)={e^{-t} over 2i}.}

Тогда, по основной теореме о вычетах:

  ∫ C f ( z ) d z = 2 π i r e s z = i ⁡ f ( z ) = 2 π i e − t 2 i = π e − t . {displaystyle ~int limits _{C}f(z),dz=2pi i,mathop {mathrm {res} } _{z=i}f(z)=2pi i{e^{-t} over 2i}=pi e^{-t}.}

Контур C {displaystyle C} можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что

  ∫ straight + ∫ arc = π e − t . {displaystyle ~int limits _{mbox{straight}}+int limits _{mbox{arc}}=pi e^{-t},.}

Поэтому

  ∫ − a a = π e − t − ∫ arc . {displaystyle ~int limits _{-a}^{a}=pi e^{-t}-int limits _{mbox{arc}}.}

Можно показать, что при t > 0 {displaystyle t>0} :

  ∫ arc e i t z z 2 + 1 d z → 0 ; a → ∞ . {displaystyle ~int limits _{mbox{arc}}{e^{itz} over z^{2}+1},dz ightarrow 0;quad a ightarrow infty .}

Поэтому, если t > 0 {displaystyle t>0} , то

  ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e − t . {displaystyle ~int limits _{-infty }^{infty }{e^{itz} over z^{2}+1},dz=pi e^{-t}.}

Аналогичным образом, для дуги, охватывающей точку − i {displaystyle -i} вместо i {displaystyle i} , можно показать, что при t < 0 {displaystyle t<0} :

  ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e t , {displaystyle ~int limits _{-infty }^{infty }{e^{itz} over z^{2}+1},dz=pi e^{t},}

В итоге получаем:

  ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e − | t | . {displaystyle ~int limits _{-infty }^{infty }{e^{itz} over z^{2}+1},dz=pi e^{-left|t ight|}.}

(При t = 0 {displaystyle t=0} интеграл вычисляется обычными методами анализа, он равен π {displaystyle pi } )