Моноидальный функтор

В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, сохраняюющие моноидальную структуру, то есть умножение и тождественный элемент.

Определение

Пусть ( C , ⊗ , I C ) {displaystyle ({mathcal {C}},otimes ,I_{mathcal {C}})} и ( D , ∙ , I D ) {displaystyle ({mathcal {D}},ullet ,I_{mathcal {D}})} — моноидальные категории. Моноидальный функтор из C {displaystyle {mathcal {C}}} в D {displaystyle {mathcal {D}}} состоит из функтора F : C → D {displaystyle F:{mathcal {C}} o {mathcal {D}}} , естественного преобразования

ϕ A , B : F A ∙ F B → F ( A ⊗ B ) {displaystyle phi _{A,B}:FAullet FB o F(Aotimes B)}

и морфизма

ϕ : I D → F I C {displaystyle phi :I_{mathcal {D}} o FI_{mathcal {C}}} ,

называемых структурными морфизмами, таких что для любых A {displaystyle A} , B {displaystyle B} , C {displaystyle C} в C {displaystyle {mathcal {C}}} диаграммы


и

коммутативны в категории D {displaystyle {mathcal {D}}} . Здесь используются стандартные обозначения α , ρ , λ {displaystyle alpha , ho ,lambda } для моноидальной структуры категорий C {displaystyle {mathcal {C}}} и D {displaystyle {mathcal {D}}} .

Сильно моноидальный функтор — это моноидальный функтор, такой что структурные морфизмы ϕ A , B , ϕ {displaystyle phi _{A,B},phi } обратимы.

Строго моноидальный функтор — это моноидальный функтор, структурные морфизмы которого тождественны.

Пример

Забывающий функтор U : ( A b , ⊗ Z , Z ) → ( S e t , × , { ∗ } ) {displaystyle U:(mathbf {Ab} ,otimes _{mathbf {Z} },mathbf {Z} ) ightarrow (mathbf {Set} , imes ,{*})} из категории абелевых групп в категорию множеств. Здесь структурный морфизм ϕ A , B : U ( A ) × U ( B ) → U ( A ⊗ B ) {displaystyle phi _{A,B}colon U(A) imes U(B) o U(Aotimes B)} — это сюръекция, индуцированная стандартным отображением A × B → A ⊗ B → {displaystyle A imes B o Aotimes B o } ; отображение ϕ : { ∗ } → Z {displaystyle phi colon {*} o mathbb {Z} } переводит синглетон * в 1.