Логарифмический потенциал

28.04.2022

Логарифмическим потенциалом называют функцию, определённую в ℝ2 как свертка обобщённой функции ρ с функцией -ln|z|:

V = − ρ ln ⁡ | z | . {displaystyle V=- ho ln |z|.}

Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ΔV = −2πρ. По аналогии с ньютоновым потенциалом можно рассматривать три частных случая логарифмического потенциала.

Физический смысл

Физический смысл логарифмических потенциалов заключается в том, что они соответствуют потенциалу, создаваемому зарядами (или массами) в двумерной электростатике (или двумерной ньютоновской гравитации), распределенными с (двумерной) плотностью ρ. С точки зрения обычной трехмерной электростатики, речь идет об электростатическом потенциале, создаваемом распределением зарядов, обладающим трансляционной симметрией по одной из пространственных осей (по оси, ортогональной к плоскости, декартовы координаты на которой есть компоненты вектора z - или его действительная и мнимая часть, если считать z комплексным числом), иными словами, распределением зарядов, не зависящим от третьей координаты, постоянным по ней (потенциал заряженной нити).

Потенциал площади

V ( z ) = ∬ G ρ ( ζ ) ln ⁡ 1 | z − ζ | d ξ d η , ζ = ξ + i η . {displaystyle V(z)=iint limits _{G} ho (zeta )ln {frac {1}{|z-zeta |}}dxi ,deta ,qquad zeta =xi +ieta .}

Если ρ ( z ) ∈ C ( G ¯ ) {displaystyle ho (z)in C({overline {G}})} , то сам потенциал V ( z ) ∈ C 1 ( R 2 ) {displaystyle V(z)in C^{1}(mathbb {R} ^{2})} гармоничен в R 2 ∖ G {displaystyle mathbb {R} ^{2}setminus G} и

V ( z ) = ln ⁡ 1 | z | ∬ G ρ ( ζ ) d ξ d η + O ( 1 | z | ) ,   | z | → ∞ . {displaystyle V(z)=ln {frac {1}{|z|}}iint limits _{G} ho (zeta )dxi ,deta +Oleft({frac {1}{|z|}} ight), |z| ightarrow infty .}
  • Здесь, как это часто делается, подразумевается представление R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}} как комплексной плоскости; впрочем, в рамках определений это несущественно, и в этом смысле здесь можно всюду заменить комплексные переменные ζ ,   z {displaystyle zeta , z} просто на двумерные векторы, а модуль комплексного числа - на евклидову норму в R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}} , а если ρ {displaystyle ho } также комплексно, можно рассматривать отдельно его действительную и мнимую части.

Логарифмический потенциал простого слоя

V ( 0 ) ( z ) = μ δ S ln ⁡ 1 | z | = ∫ S μ ( ζ ) ln ⁡ 1 | z − ζ | d S ζ . {displaystyle V^{(0)}(z)=mu delta _{S}ln {frac {1}{|z|}}=int limits _{S}mu (zeta )ln {frac {1}{|z-zeta |}}dS_{zeta }.}

Если μ ( z ) ∈ C ( S ) {displaystyle mu (z)in C(S)} , то сам потенциал V ( 0 ) ( z ) ∈ C ( R 2 ) {displaystyle V^{(0)}(z)in C(mathbb {R} ^{2})} гармоничен в R 2 ∖ S {displaystyle mathbb {R} ^{2}setminus S} и

V ( 0 ) ( z ) = ln ⁡ 1 | z | ∫ S μ ( ζ ) d S ζ + O ( 1 | z | ) ,   | z | → ∞ . {displaystyle V^{(0)}(z)=ln {frac {1}{|z|}}int limits _{S}mu (zeta )dS_{zeta }+Oleft({frac {1}{|z|}} ight), |z| ightarrow infty .}

Если S — кривая Ляпунова, то потенциал имеет производные, причем на самой кривой наблюдается их разрыв:

( ∂ V ( 0 ) ∂ n ) | + = − π μ ( z ) + ∂ V ( 0 ) ( z ) ∂ n , {displaystyle left({frac {partial V^{(0)}}{partial mathbf {n} }} ight){Bigg |}_{+}=-pi mu (z)+{frac {partial V^{(0)}(z)}{partial mathbf {n} }},} ( ∂ V ( 0 ) ∂ n ) | − = π μ ( z ) + ∂ V ( 0 ) ( z ) ∂ n . {displaystyle left({frac {partial V^{(0)}}{partial mathbf {n} }} ight){Bigg |}_{-}=pi mu (z)+{frac {partial V^{(0)}(z)}{partial mathbf {n} }}.}

Логарифмический потенциал двойного слоя

V ( 1 ) ( z ) = − ln ⁡ 1 | z | ∗ ∂ ∂ n ( ν δ S ) = ∫ S ν ( ζ ) ∂ ∂ n ( ln ⁡ 1 | z − ζ | ) d S ζ = ∫ S ν ( ζ ) cos ⁡ φ | z − ζ | d S ζ , {displaystyle V^{(1)}(z)=-ln {frac {1}{|z|}}*{frac {partial }{partial mathbf {n} }}( u delta _{S})=int limits _{S} u (zeta ){frac {partial }{partial mathbf {n} }}left(ln {frac {1}{|z-zeta |}} ight)dS_{zeta }=int limits _{S} u (zeta ){frac {cos varphi }{|z-zeta |}}dS_{zeta },}

где φ — угол между нормалью в точке ζ и радиус-вектором, проведённым в эту точку из точки z.

Если ν ( z ) ∈ C ( S ) {displaystyle u (z)in C(S)} , то сам потенциал V ( 1 ) ( z ) {displaystyle V^{(1)}(z)} гармоничен в R 2 ∖ G {displaystyle mathbb {R} ^{2}setminus G} и

V ( 1 ) ( z ) = O ( 1 | z | ) ,   | z | → ∞ . {displaystyle V^{(1)}(z)=Oleft({frac {1}{|z|}} ight), |z| ightarrow infty .}

Если S — кривая Ляпунова, то:

V ( 1 ) ∈ C ( G ¯ ) ∩ C ( S ) ∩ C ( R 2 ∖ G ) {displaystyle V^{(1)}in C({overline {G}})cap C(S)cap C(mathbb {R} ^{2}setminus G)}

и

V + ( 1 ) ( z ) = π ν ( z ) + V ( 1 ) ( z ) , {displaystyle V_{+}^{(1)}(z)=pi u (z)+V^{(1)}(z),} V − ( 1 ) ( z ) = − π ν ( z ) + V ( 1 ) ( z ) . {displaystyle V_{-}^{(1)}(z)=-pi u (z)+V^{(1)}(z).}

Если, к тому же, плотность — постоянная величина, потенциал равен

V ( 1 ) = { − 2 π ν ,   z ∈ G , − π ν ,   z ∈ S , 0 ,   z ∈ R 2 ∖ G ¯ . {displaystyle V^{(1)}={egin{cases}-2pi u , zin G,-pi u , zin S,, zin mathbb {R} ^{2}setminus {overline {G}}.end{cases}}}