Теоремы Томсона и Тета

02.06.2022

Теоремы Томсона и Тета ― формулируют условия, необходимые для того, чтобы можно было стабилизировать гироскопическими силами неустойчивую потенциальную систему. Были доказаны в 1879 г.. Пользуясь теоремой Томсона и Тета, можно исследовать устойчивость волчка, системы инерциальной навигации и гироскопического однорельсового вагона.

Первая теорема Томсона и Тета

Если неустойчивость невозмущенного движения потенциальной системы имеет нечётную степень, то стабилизировать движение нельзя никакими гироскопическими силами.

Вторая теорема Томсона и Тета

Если невозмущенное движение z = 0 {displaystyle z=0} и z ˙ = 0 {displaystyle {dot {z}}=0} потенциальной системы устойчиво, то при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил (не обязательно полной диссипации) устойчивость движения сохраняется.

Третья теорема Томсона и Тета

Если невозмущенное движение z = 0 {displaystyle z=0} и z ˙ = 0 {displaystyle {dot {z}}=0} устойчиво при одних потенциальных силах, то оно становится асимптотически устойчивым при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией.

Четвёртая теорема Томсона и Тета

Невозмущенное движение z = 0 {displaystyle z=0} и z ˙ = 0 {displaystyle {dot {z}}=0} , неустойчивое под действием потенциальных сил, остаётся неустойчивым при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией.

Пояснения

Степенью неустойчивости называется число отрицательных коэффициентов c k {displaystyle c_{k}} в системе s {displaystyle s} уравнений z 1 ¨ + c 1 z 1 = 0 , . . . z s ¨ + c s z s = 0 {displaystyle {ddot {z_{1}}}+c_{1}z_{1}=0,...{ddot {z_{s}}}+c_{s}z_{s}=0} , описывающей движение возмущённой системы.

Гироскопическими называются силы F = G x ˙ {displaystyle F=G{dot {x}}} , линейно зависящие от скоростей и имеющие кососимметрическую матрицу коэффициентов G = ‖ g k j ‖ {displaystyle G=left|g_{kj} ight|}

Диссипативными называются силы F = B x ˙ {displaystyle F=B{dot {x}}} , линейно зависящие от скоростей и имеющие симметрическую матрицу коэффициентов B = ‖ b k j ‖ {displaystyle B=left|b_{kj} ight|} , такую, что квадратичная форма F = 1 2 B x ˙ ⋅ x ˙ {displaystyle F={frac {1}{2}}B{dot {x}}cdot {dot {x}}} положительна.