Нётерово кольцо

05.07.2022

Нётерово кольцо — тип колец, обобщение кольца главных идеалов. Названы в честь Эмми Нётер.

Определение

Нётерово кольцо — ассоциативное кольцо с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей:

всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец — левых идеалов) p 1 ⊂ p 2 ⊂ ⋯ ⊂ p n ⊂ … {displaystyle p_{1}subset p_{2}subset dots subset p_{n}subset dots } стабилизируется, то есть p n = p n + 1 = … , {displaystyle p_{n}=p_{n+1}=dots ,} начиная с некоторого n {displaystyle n} .

Замечания

• Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получается определение артинова кольца.

Примеры

• Поле, поскольку в нём всего два идеала — { 0 } {displaystyle {0}} и само поле.
• Кольцо главных идеалов.
  • Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем. (Однако не всякое нётерово кольцо является кольцом главных идеалов.)
• Кольца многочленов от конечного числа переменных над полем являются нётеровыми (но не являются кольцами главных идеалов при числе переменных, большем 1).

Свойства

• Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда в любом непустом множестве идеалов A {displaystyle A} существует максимальный элемент.
• Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда любой идеал конечно порождён.
• Теорема Гильберта о базисе: для любого нётерова кольца A {displaystyle A} кольцо многочленов A [ x ] {displaystyle A[x]} — нётерово.
  • В частности, A [ x 1 , … , x n ] {displaystyle A[x_{1},ldots ,x_{n}]} тоже нётерово.
• В коммутативных нётеровых кольцах верна теорема Ласкера — Нётер, согласно которой любой идеал A {displaystyle A} допускает примарное разложение.