Правильный пятиугольник

23.07.2022

Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства

  • У правильного пятиугольника угол равен
α = ( n − 2 ) n ⋅ 180 ∘ = 3 5 ⋅ 180 ∘ = 108 ∘ {displaystyle alpha ={frac {(n-2)}{n}}cdot 180^{circ }={frac {3}{5}}cdot 180^{circ }=108^{circ }}
  • Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:
S = 5 4 t 2 c t g π 5 = 5 5 + 2 5 4 t 2 = 5 12 R d = 5 2 R 2 sin ⁡ 2 π 5 = 5 r 2 t g π 5 {displaystyle S={frac {5}{4}}t^{2}mathop {mathrm {ctg} } ,{frac {pi }{5}}={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={frac {5}{12}}Rd={frac {5}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{5}}=5r^{2}mathop {mathrm {tg} } ,{frac {pi }{5}}} , где R {displaystyle R} — радиус описанной окружности, r {displaystyle r} — радиус вписанной окружности, d {displaystyle d} — диагональ, t {displaystyle t} — сторона.
  • Высота правильного пятиугольника:
h = tg 72 ∘ 2 t = 5 + 2 5 2 t ≈ 1,538 8417685876268 t {displaystyle h={frac {operatorname {tg} ,72^{circ }}{2}}t={frac {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}{2}}tapprox 1{,}5388417685876268t}
  • Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
  • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1 + 5 2 {displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} .

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

  • Сторона:
t = R 5 − 5 2 ≈ 1,175 5705045849463   R {displaystyle t=R{sqrt {frac {5-{sqrt {5}}}{2}}}approx 1{,}1755705045849463~R}
  • Радиус вписанной окружности:
r = 5 5 + 2 5 10 t ≈ 0,688 1909602355869   t {displaystyle r={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{10}}tapprox 0{,}6881909602355869~t}
  • Радиус описанной окружности:
R = 1 0 5 + 5 10 t = ( 5 − 1 )   r ≈ 0,850 65080835204   t ≈ 1,236 0679774997898   r {displaystyle R={frac {{sqrt {1}}0{sqrt {5+{sqrt {5}}}}}{10}}t=({sqrt {5}}-1)~rapprox 0{,}85065080835204~tapprox 1{,}2360679774997898~r}
  • Диагональ:
d = Φ 5 R = 5 + 1 2 t ≈ 1,902 1130325903073   R ≈ 1,618 033988749895   t {displaystyle d={sqrt {Phi {sqrt {5}}}}R={frac {{sqrt {5}}+1}{2}}tapprox 1{,}9021130325903073~Rapprox 1{,}618033988749895~t}
  • Площадь:
S = 5 5 + 2 5 4 t 2 ≈ 1,720 4774005889671   t 2 {displaystyle S={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}approx 1{,}7204774005889671~t^{2}}
  • Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
  • Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)
S s = Φ 4 = 3 Φ + 2 = 3 5 + 7 2 ≈ 6,854 101966249685 {displaystyle {frac {S}{s}}=Phi ^{4}=3Phi +2={frac {3{sqrt {5}}+7}{2}}approx 6{,}854101966249685} где Φ {displaystyle Phi } — отношение золотого сечения.

Построение

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

  • Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
  • Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
  • Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
  • Постройте точку C посередине между O и B.
  • Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
  • Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
  • Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
  • Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
  • Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

    • Построение правильного пятиугольника

    • Построение правильного пятиугольника

    • Построение правильного пятиугольника

    • Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

    Получение с помощью полоски бумаги

    Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

    Узел из полоски бумаги, образующий пятиугольник

    В природе

    В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника, но исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская. Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

    • Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией

    • Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская

    Интересные факты

    • Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
    • Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
    • Правильный пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией правильного пятиячейника (4-симплекса).
    • Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.