Конхоида Слюза
Конхоиды Слюза — это семейство плоских кривых, которые изучал в 1662 году Рене-Франсуа Валтер, барон де Слюз.
Кривые задаются в полярных координатах уравнением
r = sec θ + a cos θ {displaystyle r=sec heta +acos heta } .В декартовой системе кривые удовлетворяют уравнению
( x − 1 ) ( x 2 + y 2 ) = a x 2 {displaystyle (x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}}за исключением случая a = 0, в котором кривая имеет изолированную точку (0,0), которой нет в полярном представлении кривой.
Кривые являются рациональными, круговыми, кубическими плоскими кривыми.
Выражения имеют асимптоту x=1 (для a≠0). Точка, наиболее удалённая от асимптоты — (1+a,0). (0,0) является точкой самопересечения для a<−1.
Для a ≥ − 1 {displaystyle ageq -1} область между кривой и асимптотой имеет площадь
| a | ( 1 + a / 4 ) π {displaystyle |a|(1+a/4)pi }Для a < − 1 {displaystyle a<-1} площадь равна
( 1 − a 2 ) − ( a + 1 ) − a ( 2 + a 2 ) arcsin 1 − a . {displaystyle left(1-{frac {a}{2}} ight){sqrt {-(a+1)}}-aleft(2+{frac {a}{2}} ight)arcsin {frac {1}{sqrt {-a}}}.}Если a < − 1 {displaystyle a<-1} , кривая имеет петлю. Площадь петли равна
( 2 + a 2 ) a arccos 1 − a + ( 1 − a 2 ) − ( a + 1 ) . {displaystyle left(2+{frac {a}{2}} ight)aarccos {frac {1}{sqrt {-a}}}+left(1-{frac {a}{2}} ight){sqrt {-(a+1)}}.}Четыре кривые из семейства имеют собственные имена:
a = 0, прямая (асимптота для остальных кривых семейства) a = −1, циссоида Диокла a = −2, правая строфоида a = −4, трисектриса Маклорена