Область определения функции
Область определения — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.
Определение
Если на множестве X {displaystyle X} задана функция, которая отображает множество X {displaystyle X} в другое множество, то множество X {displaystyle X} называется областью определения или областью задания функции.
Более формально, если задана функция f {displaystyle f} , которая отображает множество X {displaystyle X} в Y {displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} , то множество X {displaystyle X} называется областью определения или областью задания функции f {displaystyle f} и обозначается D ( f ) {displaystyle D(f)} или d o m f {displaystyle mathrm {dom} ,f} (от англ. domain — «область»).
Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве D {displaystyle D} некоторого множества X {displaystyle X} . В этом случае множество X {displaystyle X} называется областью отправления функции f {displaystyle f} .
Примеры
Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.
Числовые функции
Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:
- вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида f : R → R {displaystyle fcolon mathbb {R} o mathbb {R} } ;
- а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида f : C → C {displaystyle fcolon mathbb {C} o mathbb {C} } ,
где R {displaystyle mathbb {R} } и C {displaystyle mathbb {C} } — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.
Тождественное отображение
Область определения функции f ( x ) = x {displaystyle f(x)=x} совпадает с областью отправления ( R {displaystyle mathbb {R} } или C {displaystyle mathbb {C} } ).
Гармоническая функция
Область определения функции f ( x ) = 1 / x {displaystyle f(x)=1/x} представляет собой комплексную плоскость без нуля:
d o m f = C ∖ { 0 } {displaystyle mathrm {dom} ,f=mathbb {C} setminus {0}} ,поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом.
Дробно-рациональные функции
Область определения функции вида
f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n {displaystyle f(x)={frac {a_{0}+a_{1}x+dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+dots +b_{n}x^{n}}}}представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения
b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n = 0 {displaystyle b_{0}+b_{1}x+dots +b_{n}x^{n}=0} .Эти точки называются полюсами функции f {displaystyle f} .
Так, функция f ( x ) = 2 x x 2 − 4 {displaystyle f(x)={frac {2x}{x^{2}-4}}} определена во всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где x 2 − 4 ≠ 0 {displaystyle x^{2}-4 eq 0} . Таким образом d o m f {displaystyle mathrm {dom} ,f} является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.
Мера
Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.
Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.
Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.
Функционал
Пусть F = { f ∣ f : X → R } {displaystyle mathbb {F} ={fmid fcolon X o mathbb {R} }} — семейство отображений из множества X {displaystyle X} в множество R {displaystyle mathbb {R} } . Тогда можно определить отображение вида F : F → R {displaystyle Fcolon mathbb {F} o mathbb {R} } . Такое отображение называется функционалом.
Если, например, фиксировать некоторую точку x 0 ∈ X {displaystyle x_{0}in ~X} , то можно определить функцию F ( f ) = f ( x 0 ) {displaystyle F(f)=f(x_{0})} , которая принимает в «точке» f {displaystyle f} то же значение, что и сама функция f {displaystyle f} в точке x 0 {displaystyle x_{0}} .