Ромбоусечённый икосододекаэдр

02.02.2021

Ромбоусечённый икосододекаэдр или усечённый икосододекаэдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников.

В каждой из его 120 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань, одна шестиугольная и одна десятиугольная. Телесный угол при вершине равен в точности 3 2 π . {displaystyle {frac {3}{2}}pi .}

Имеет 180 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) двугранные углы равны arccos ⁡ ( − 15 + 3 6 ) ≈ 159 , 09 ∘ , {displaystyle arccos left(-{frac {{sqrt {15}}+{sqrt {3}}}{6}} ight)approx 159{,}09^{circ },} при 60 рёбрах (между квадратной и десятиугольной гранями) arccos ⁡ ( − 5 + 5 10 ) ≈ 148 , 28 ∘ , {displaystyle arccos left(-{sqrt {frac {5+{sqrt {5}}}{10}}} ight)approx 148{,}28^{circ },} при 60 рёбрах (между шестиугольной и десятиугольной гранями) arccos ⁡ ( − 5 + 2 5 15 ) ≈ 142 , 62 ∘ . {displaystyle arccos left(-{sqrt {frac {5+2{sqrt {5}}}{15}}} ight)approx 142{,}62^{circ }.}

Родственный многогранник, не являющийся полуправильным.

Название «усечённый икосододекаэдр», которое первоначально дал этому многограннику Кеплер, способно ввести в заблуждение. Дело в том, что в результате операции усечения, «срезав» с икосододекаэдра 30 четырёхугольных пирамид, можно получить лишь несколько иной многогранник, четырёхугольные грани которого — золотые прямоугольники, а не квадраты. Полученный многогранник полуправильным не является; впрочем, он изоморфен настоящему ромбоусечённому икосододекаэдру и может быть превращён в таковой при помощи небольшой деформации.

В координатах

Ромбоусечённый икосододекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

  • ( ± ( Φ − 1 ) ; ± ( Φ − 1 ) ; ± ( Φ + 3 ) ) , {displaystyle (pm (Phi -1);;pm (Phi -1);;pm (Phi +3)),}
  • ( ± ( 2 Φ − 2 ) ; ± Φ ; ± ( 2 Φ + 1 ) ) , {displaystyle (pm (2Phi -2);;pm Phi ;;pm (2Phi +1)),}
  • ( ± ( Φ − 1 ) ; ± ( Φ + 1 ) ; ± ( 3 Φ − 1 ) ) , {displaystyle (pm (Phi -1);;pm (Phi +1);;pm (3Phi -1)),}
  • ( ± ( 2 Φ − 1 ) ; ± 2 ; ± ( Φ + 2 ) ) , {displaystyle (pm (2Phi -1);;pm 2;;pm (Phi +2)),}
  • ( ± Φ ; ± 3 ; ± 2 Φ ) , {displaystyle (pm Phi ;;pm 3;;pm 2Phi ),}

где Φ = 1 + 5 2 {displaystyle Phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} — отношение золотого сечения.

Начало координат ( 0 ; 0 ; 0 ) {displaystyle (0;0;0)} будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если ромбоусечённый икосододекаэдр имеет ребро длины a {displaystyle a} , его площадь поверхности и объём выражаются как

S = 30 ( 1 + 3 + 5 + 2 5 ) a 2 ≈ 174,292 0303 a 2 , {displaystyle S=30left(1+{sqrt {3}}+{sqrt {5+2{sqrt {5}}}} ight)a^{2}approx 174{,}2920303a^{2},} V = ( 95 + 50 5 ) a 3 ≈ 206,803 3989 a 3 . {displaystyle V=(95+50{sqrt {5}})a^{3}approx 206{,}8033989a^{3}.}

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R = 1 2 31 + 12 5 a ≈ 3,802 3945 a ; {displaystyle R={frac {1}{2}}{sqrt {31+12{sqrt {5}}}};aapprox 3{,}8023945a;}

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ = 15 2 + 3 5 a ≈ 3,769 3771 a . {displaystyle ho ={sqrt {{frac {15}{2}}+3{sqrt {5}}}};aapprox 3{,}7693771a.}

Вписать в ромбоусечённый икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоусечённого икосододекаэдра с ребром a {displaystyle a} (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

r 10 = 1 2 25 + 10 5 a ≈ 3,440 9548 a . {displaystyle r_{10}={frac {1}{2}}{sqrt {25+10{sqrt {5}}}};aapprox 3{,}4409548a.}

Расстояния от центра многогранника до центров шестиугольных и квадратных граней превосходят r 10 {displaystyle r_{10}} и равны соответственно

r 6 = 1 2 27 + 12 5 a ≈ 3,668 5425 a , {displaystyle r_{6}={frac {1}{2}}{sqrt {27+12{sqrt {5}}}};aapprox 3{,}6685425a,} r 4 = 1 2 29 + 12 5 a ≈ 3,736 0680 a . {displaystyle r_{4}={frac {1}{2}}{sqrt {29+12{sqrt {5}}}};aapprox 3{,}7360680a.}

Примечательные свойства

Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона с заданной длиной ребра ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольший объём, наибольшую площадь поверхности и наибольший диаметр.

Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольшее число вершин и наибольшее число рёбер (но не наибольшее число граней — здесь первое место занимает курносый додекаэдр).