Функции Штумпфа

Функции Штумпфа ck(x) были введены в небесную механику немецким астрономом Карлом Штумпфом в его теории универсального решения для кеплеровского движения. Они описываются следующим разложением в ряд Тейлора:

c k ( x ) = 1 k ! − x ( k + 2 ) ! + x 2 ( k + 4 ) ! − ⋯ = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x i ( k + 2 i ) ! {displaystyle c_{k}(x)={frac {1}{k!}}-{frac {x}{(k+2)!}}+{frac {x^{2}}{(k+4)!}}-cdots =sum _{i=0}^{infty }{frac {(-1)^{i}x^{i}}{(k+2i)!}}}

для k = 0 , 1 , 2 , 3 , … {displaystyle k=0,1,2,3,ldots } Этот ряд абсолютно сходится для любых действительных x.

Близки тригонометрическим функциям. Сравнивая разложение в ряд Тейлора для c0(x) и c1(x) с разложением в ряд Тейлора для тригонометрических функций sin и cos, можно найти следующие соотношения:

• c 0 ( x 2 ) = cos ⁡ ( x ) {displaystyle c_{0}(x^{2})=cos(x)}
• c 1 ( x 2 ) = sin ⁡ ( x ) x = sinc ⁡ ( x ) {displaystyle c_{1}(x^{2})={frac {sin(x)}{x}}=operatorname {sinc} (x)}
• c 2 ( x 2 ) = 1 − cos ⁡ ( x ) x 2 {displaystyle c_{2}(x^{2})={frac {1-cos(x)}{x^{2}}}}
• c 3 ( x 2 ) = x − sin ⁡ ( x ) x 3 {displaystyle c_{3}(x^{2})={frac {x-sin(x)}{x^{3}}}}

Аналогично, для гиперболических функций sinh и cosh мы находим:

• c 0 ( − x 2 ) = cosh ⁡ ( x ) {displaystyle c_{0}(-x^{2})=cosh(x)}
• c 1 ( − x 2 ) = sinh ⁡ ( x ) x {displaystyle c_{1}(-x^{2})={frac {sinh(x)}{x}}}

Для неотрицательных k, c k ( 0 ) = 1 k ! {displaystyle c_{k}(0)={frac {1}{k!}}} .

Функции Штумпфа удовлетворяют следующему рекурсивному выражению:

x c k + 2 ( x ) = 1 k ! − c k ( x ) ,  для  k = 0 , 1 , 2 , … . {displaystyle xc_{k+2}(x)={frac {1}{k!}}-c_{k}(x),{ ext{ для }}k=0,1,2,ldots ,.}

Функции Штумпфа позволяют единообразно описать движение тела в центральном поле для любого значения «кеплеровской энергии» (суммы кинетической и потенциальной энергии), соответствующего движению по эллиптическим (кеплеровская энергия отрицательна), параболическим (кеплеровская энергия в точности равна нулю) и гиперболическим (кеплеровская энергия положительна) траекториям.