Теорема Шмидта

04.02.2021

Теорема Шмидта - теорема о свойствах расширения локально конечной группы.

Формулировка

Расширение G {displaystyle G} локально конечной группы A {displaystyle A} посредством локально конечной группы G / A {displaystyle G/A} само локально конечно.

Доказательство

Проверим, что каждое конечное множество M {displaystyle M} из G {displaystyle G} порождает конечную подгруппу. По условию факторгруппа g r ( M , A ) / A {displaystyle gr(M,A)/A} конечна. Увеличив, если нужно, множество M {displaystyle M} , будем считать, что оно замкнуто относительно обратных элементов и содержит представители всех смежных классов g r ( M , A ) {displaystyle gr(M,A)} по A {displaystyle A} . Тогда для любых x , y ∈ M {displaystyle x,yin M} x y = x y ¯ a x , y {displaystyle xy={overline {xy}}a_{x,y}} , где x y ¯ ∈ M {displaystyle {overline {xy}}in M} , a x , y ∈ A {displaystyle a_{x,y}in A} . Отсюда следует, что любое произведение элементов из M {displaystyle M} можно записать как произведение некоторого элемента из M {displaystyle M} на произведение нектороых a x , y {displaystyle a_{x,y}} . Так как всевозможные a x , y {displaystyle a_{x,y}} порждают конечную подгруппу, то всё доказано.